Matrizes 2009 Colégio Integrado Jaó. Prof. Paulo..

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1 Matrizes 2009 Colégio Integrado Jaó. Prof. Paulo.

2 Matrizes Exemplos:

3 Matrizes Definição: toda tabela de números dispostos em linhas ou colunas. Cada elemento da matriz é indicado por dois índices: Formando assim um conjunto m x n (m por n) elementos dispostos em m linhas e n colunas onde aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.

4 Matrizes Especiais Matriz-linha – matriz de tipo 1×n
Matriz-coluna – matriz de tipo m×1 Matriz-quadrada – matriz de tipo n×n ou de ordem n elementos principais = Aii diagonal principal tr(A) = traço de uma matriz quadrada = soma dos elementos da diagonal principal Matriz transposta obtém-se através da troca ordenada de linhas por colunas (colunas por linhas) de uma matriz.

5 Matrizes Especiais

6 Operações Matriciais Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais. Elementos homólogos – elementos com índices iguais

7 Adição e subtração de matrizes
A adição ou subtração de duas matrizes é uma matriz cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos.

8 Multiplicação por um escalar
O produto de uma matriz por um escalar é uma matriz que se obtém multiplicando o escalar por cada um dos elementos da matriz.

9 Multiplicação de Matrizes
Considerem-se duas matrizes A e B tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto das matrizes A e B é uma matriz P=A.B onde

10 Multiplicação de matrizes
= 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 =

11 = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

12 = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

13 = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

14 = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

15 = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

16 = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

17 = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

18 Propriedades 1. Em geral, AB ≠ BA, ou seja, não é comutativa. 2. Associatividade: (AB)C = A(BC). 3. α(AB) = (αA)B = A(αB), A(–B) = (–A)B = –(AB). 4. (A + B)C = AC + BC se A e B são m×n e C e n×p. 5. D(A + B) = DA + DB se A e B são m×n e D e p×m. 6. Elemento neutro da multiplicacao: AIn = ImA = A , em que Ip e a matriz identidade de ordem p.

19 Fundamentação Teórica
Criptografia Fundamentação Teórica Criptografia Kriptós: escondido, oculto Grápho: grafia

20 Introdução à Criptografia
A Criptografia é a ciência que estuda as formas de se escrever uma mensagem em código. Trata-se de um conjunto de técnicas que permitem tornar incompreensível uma mensagem originalmente escrita com clareza, de forma a permitir que apenas o destinatário a decifre e compreenda (Cavalcante, 2004).

21 A cifra de Hill Método que se utiliza da Álgebra Linear para codificar e decodificar uma mensagem através da multiplicação de matrizes. Pré-requisito para Cifra de Hill • Matrizes • Multiplicação de Matrizes • Inversa de uma Matriz • Matriz Identidade

22 A cifra de Hill Quando uma mensagem esta codificada por uma Matriz A2x2 , dizemos que se trata de uma 2-Cifra de Hill. A decodificação é feita multiplicando a mensagem codificada pela inversa da matriz codificadora.

23 A cifra de Hill Tabela de conversão de caracteres em números.

24 Exemplo de codificação e decodificação
Tomemos a mensagem: Tudo bem? e substituamos cada letra por um número, de acordo com a tabela anterior. T u d o b e m ?

25 Exemplo de codificação e decodificação
Montamos uma matriz 3x3 com os números encontrados:

26 Exemplo de codificação e decodificação
Usaremos com chave a matriz: Agora efetuamos a multiplicação da matriz chave pela matriz texto. Substituindo os valores da matriz pelos símbolos da tabela temos a mensagem codificada: Óuftm!em?