Congruência de Triângulos

Apresentação em tema: "Congruência de Triângulos"— Transcrição da apresentação:

1 Congruência de Triângulos
SEAM 17/03/2014 Congruência de Triângulos

2 Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

3 Casos de congruência:

4 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

5 2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

6 3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

7 4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

8 Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

9 Pontos Notáveis de um Triângulo

10 Cevianas Notáveis As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura. O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva ( ), que demonstrou teoremas importantes 

11 Definição de Ceviana: é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

12 Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por Ma e Mb , respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por ma e mb .

13 Mediana e Baricentro Num triângulo ABC, marquemos , ponto médio do lado BC.

14 Tracemos o segmento :

15 O segmento é uma mediana do triângulo ABC.
Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

16 Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são:
, mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A; , mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B; , mediana relativa ao lado AB ou vértice C.

17 As três medianas de um triângulo encontram-se num ponto chamado baricentro do triângulo.

18 Bissetrizes e incentro.
Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC. Bissetrizes e incentro. Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao ângulo Â. Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

19 Destaquemos o segmento AS1
Destaquemos o segmento AS1. O segmento AS1 é uma bissetriz do triângulo ABC.

20 Observe que: O segmento AS1 está contido na semirreta As (bissetriz do ângulo Â); S1 é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo Â.

21 Um triângulo em três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são:
Bissetriz de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Um triângulo em três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são: As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A; BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vértice B; CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice.

22 Na figura, S é o incentro do triângulo ABC.
As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num ponto chamado incentro do triângulo. Na figura, S é o incentro do triângulo ABC.

23 Alturas e ortocentro Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC. Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

24 Destaquemos o segmento AH1:
O segmento AH1 é uma altura do triângulo ABC. O ponto H1 é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 também é chamado pé da altura.

25 Um triângulo tem três alturas. Observe:
Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vértice oposto a esse lado. Um triângulo tem três alturas. Observe:

26 AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A;
Nas figuras acima, as três alturas são: AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A; BH2, altura relativa ao lado AC ou ao vértice B; CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.

27 As três alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo.
Nas figuras, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo ABC é obtusângulo).

28 Mediatrizes e circuncentro
Num triângulo ABC, tracemos a reta perpendicular ao lado BC e passando por , ponto médio de BC. A Reta é a mediatriz do lado BC.

29 Um triângulo em três mediatrizes de lados
Um triângulo em três mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as três mediatrizes são: , mediatriz de BC; , mediatriz de AC; , mediatriz de AB.

30 Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC.
As três mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do triângulo. Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC.

31 EXERCÍCIOS

32 1- No triângulo, determine
os valores de x e y:

33 2. Um triângulo tem dois de seus ângulos medindo 46° e 112° , respectivamente. Qual a medida do terceiro ângulo desse triângulo?

34 4. Determine, na figura abaixo, as medidas x, y e z indicadas:

35 5- Um triângulo é isósceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm.
Que medidas pode ter o terceiro lado?

36 6- Se AS é bissetriz do triângulo ABC determine  e B nos casos:

37 7- Calcule o valor de x nas figuras:

38 8 -O segmento de reta s do triângulo abaixo é:   a) Mediana   b) Bissetriz c) Altura d) Incentro

39 9 -  O segmento de reta M do triãngulo abaixo é: a) Mediana   b) Bissetriz c) Altura d) Incentro

40 10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H
10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H? a) Mediana b) Bissetriz c) Altura d) Ângulo 

41 11 - Marque V para verdadeiro e F para falso (   ) Existe a possibilidade de desenhar um triângulo cuja medidas dos lados são respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm. (   ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

42 (   ) Altura é segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto.  (   )Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais.

43 (   )Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.