A transformada de Laplace

Apresentação em tema: "A transformada de Laplace"— Transcrição da apresentação:

1 A transformada de Laplace
Seja f(t) uma funcão definida para t ≥ 0, sua transformada de Laplace se define como: Se disser que a transformada de Laplace de f(t) existe se a integral converge e o resultado é uma função de S.

2 Notação: Note que a transformada de Laplace é uma
Integral imprópria, um de seus limites é infinito: Notação:

3 Condicões suficientes de existência da a TL
Se f (t) é contínua por partes em [0, ∞) Isto é, f (t) é de ordem exponencial no infinito: Então: L{f(t)} = F(s) existe s > a.

4 Calcular a transformada de f(t) = 1:

5 Calcular a transformada de f(t) = tn:

6 Calcular a transformada de f(t) = e-t:

7 Calcular a transformada de f(t) = Aeat:

8 Calcular a transformada de f(t) = sen(at):
Exercício: Calcula F(s) para f(t) = cos(at)

9 Tabla de transformadas de Laplace
( ) a s e n t at + - 1 ! 2 d

10 Linearidade: Se c1 e c2 são constantes, f1(x) e f2(x) são funções cujas transformadas de Laplace são F1(x) e F2(x), respectivamente; então: Demostração: OBS:A transformada de Laplace é um operador lineal.

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12 Transformada inversa de Laplace
O processo inverso de encontrar f (t) de F (s) é chamada de transformada de Laplace inversa e é dada por:

13 Transformada de uma Derivada

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16 Exemplo 3: Obter a solução do problema de valores iniciais, mediante o método operacional de Laplace. 16 16

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19 2. Primeiro Teorema da Translação:
(Translação sobre o eixo s) Se a é um número real, então

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21 Ex e): Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – 6y’+9y = t2 e3t, y(0) = 2, y’(0) = 6. Solução: L{y”} –6 L{y’} +9L{y} = L{t2 e3t} s2L{y} – sy(0) – y’(0) –6 [sL{y} – y(0)] + 9L{y} = Como L(y} = Y(s), temos: s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – 6[sY(s) - y(0) ]+ 9Y(s) = Y(s)(s2 – 6s +9) +(–2 s -5) = (s – 3) 2 Y(s)= 2 s +5+

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