Necessidade de solução de alguns problemas da época.

Apresentação em tema: "Necessidade de solução de alguns problemas da época."— Transcrição da apresentação:

1 Necessidade de solução de alguns problemas da época.
CÁLCULO VARIACIONAL Necessidade de solução de alguns problemas da época. Relaciona-se com os funcionais (função de uma função). Seja a expressão Para cada valor de y(x), I terá um valor característico e também não dependerá de x pois a integração é feita sobre esta variável. CÁUCULO VARIACIONAL

2 b) Se y = x3 então I = 31/5. Portanto, I depende da função y(x).
Como exemplo, seja F(y(x),x) = xy sendo os limites de integração x1=1 e x2=2. a) Se y = x2 então b) Se y = x3 então I = 31/5. Portanto, I depende da função y(x). Diz-se que I é um funcional de y e representa-se por I=I[y] Exemplo

3 EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Questão: Para que função y(x) que passa pelos pontos P1 e P2 tem-se um I extremo(máximo ou mínimo)? y P2 P1 x EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

4 Para sabermos se uma função y(x) é um extremo(máximo ou mínimo) fazemos
Onde y(x) extremo implica em dy = 0. Expandindo em série de Taylor o 1º termo da equação acima, encontramos Portanto, a condição de y(x) extremo é

5 Procuramos a variação correspondente δI.
Para os funcionais é diferente, pois I depende do tipo de curva y(x). Seguindo o mesmo caminho anterior, temos: Passamos para uma curva infinitamente próxima a y(x), isto é, y(x) + δy Procuramos a variação correspondente δI. A curva correspondente y(x) será um extremo se δI=0. y P2 Para os funcionais é diferente δy dy P1 x x+dx

6 Expandindo o termo da 1ª integral , temos
Perceba a diferença entre dy e δy. Determinar o extremo de I, significa fazer Expandindo o termo da 1ª integral , temos Aplicando a condição δI=0, obtemos Perceba a diferença entre dy e

7 Seja a função . Neste caso, I=I [y,y’]. Assim,
Expandindo o termo da 1ª integral e substituindo na equação acima chegamos ao resultado (1) Onde o 2º termo da integral

8 Onde o 2º termo da integral pode ser reescrito como
Fazendo , , e e integrando por partes, obtemos O 1º termo é nulo as curvas y(x) e y(x+dx) passam pelos pontos, isto é, δy(x2) = δy(x1) = 0.

9 Assim, a equação (1) se torna
Portanto, I será um extremo se δI = 0. Logo, Esta é a equação de Euler-Lagrange. Assim, a equação (1) se torna