Problema do Carteiro Chinês

Apresentação em tema: "Problema do Carteiro Chinês"— Transcrição da apresentação:

1 Problema do Carteiro Chinês
Elisabete Longo Isabel Branco Problema do Carteiro Chinês

2 Problema do Carteiro Chinês
Um carteiro tem de fazer a distribuição da correspondência em determinada localidade. Será que consegue fazê-lo e regressar ao posto dos correios, passando uma única vez em cada rua? Caso não seja possível, qual é o caminho mais curto (o que repete menos ruas)? A solução ótima para este tipo de problemas obtém-se quando o grafo que traduz a situação admite um circuito de Euler.

3 Problema do Carteiro Chinês
Trajeto de Euler (ou euleriano) – é uma sequência de vértices e arestas de um grafo, que percorre todas as arestas uma única vez. Circuito de Euler (ou euleriano) – é um trajeto euleriano que começa e acaba no mesmo vértice.

4 Problema do Carteiro Chinês
Para identificar: Regra 1 – Num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar. Regra 2 – Um grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par.

5 Problema do Carteiro Chinês
Dado o grafo B Vamos calcular o grau de cada vértice: C A: 3 B: 4 C: 3 D E D: 4 E: 4 Como tem apenas dois vértices de grau ímpar podemos dizer que é possível encontrar neste grafo um trajeto de Euler mas não um circuito.

6 Problema do Carteiro Chinês
Dado o grafo B F G Vamos calcular o grau de cada vértice: A: 2 B: 4 C: 4 C E D: 2 E: 4 F: 4 G: 4 D Como os vértices têm todos grau par podemos dizer que este grafo tem um circuito de Euler.

7 Problema do Carteiro Chinês
Dado o grafo C Vamos calcular o grau de cada vértice: D G A: 2 B: 3 C: 3 D: 5 H E: 2 F: 3 G: 5 H: 3 E F Como tem mais do que dois vértices de grau ímpar podemos dizer que não é possível encontrar neste grafo nem um trajeto nem um circuito de Euler.

8 Problema do Carteiro Chinês
Para resolver problemas do tipo do Carteiro Chinês, temos de encontrar forma de conseguir “eulerizar a situação”, isto é, repetindo o mínimo de arestas possível, conseguir definir um circuito de Euler. Eulerizar grafos – Consiste em acrescentar arestas a um grafo de forma a tornar possível encontrar nele um circuito de Euler. Regra – Para se adicionarem arestas corretamente é preciso que o número de repetições de arestas seja igual ao número de arestas acrescentadas.

9 X Problema do Carteiro Chinês Vamos eulerizar
Uma vez que os vértices de grau ímpar são A e C poderíamos acrescentar uma aresta de A para C, C mas não respeitaria a regra. D E Assim acrescentamos uma aresta de A para B, e outra de B para C. Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de Euler neste grafo.

10 Problema do Carteiro Chinês
Vamos eulerizar C Uma vez que os vértices de grau ímpar são B, C, D, F, G e H podemos: D G - acrescentar uma aresta de B para C; H - acrescentar uma aresta de D para G; E F - acrescentar uma aresta de H para F. Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de Euler neste grafo.