Algoritmos de Fluxo Máximo

Apresentação em tema: "Algoritmos de Fluxo Máximo"— Transcrição da apresentação:

1 Algoritmos de Fluxo Máximo
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS Escola de Informática Programa de Pós-Graduação em Informática Mestrado em Ciência da Computação Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Algoritmos de Fluxo Máximo Verlani Timm Hinz

2 Sumário Aplicações Conceitos Fluxo em redes Fluxo máximo
Método de Ford-Fulkerson Redes residuais Caminhos de aumento Cortes Referências Bibliográficas

3 Aplicações Considere a seguinte situação modelada por um grafo:
– Cada arco representa uma rua de mão única. – O peso de cada arco indica o maior fluxo possível ao longo da rua (veículos/hora). • Qual o maior número possível de veículos que pode viajar de u a v em uma hora?

4 Aplicações Outra situação:
Imagine que uma empresa deseja transportar a maior quantidade possível de produtos de uma cidade para outra, através da rede rodoviária. A restrição do transporte é que cada estrada da rede suporta um número finito de caminhões. Então como determinar o fluxo máximo permitido na rodovia?

5 Outras aplicações O envio de produtos do produtor ao distribuidor;
A deslocação das pessoas das suas casas para os locais de trabalho; A expedição de cartas desde a estação de correio até os seus destinatários; Modelagem de líquidos fluindo por tubos; Peças por linha de montagem; Informações por redes de comunicações, Correntes por redes elétricas, …

6 Conceitos Capacidade de um arco c(o,a) fluxo f(o,a) arcos ou arestas
destino origem No caso acima, verifica-se que existe uma capacidade de 5 unidades de fluxo do nó O para o nó A e de 4 unidades de fluxo do nó A para o O.

7 O que são fluxos? Em termos de grafo:
O fluxo é o envio de entidades de um nó(origem) até outro nó (destino), percorrendo alguns dos arcos da rede onde aqueles nós fazem parte.

8 Fluxo em redes Um fluxo em rede G=(V,E) é um grafo orientado em que cada aresta (u,v) E e tem uma capacidade não negativa c(u,v)  0. u=origem e v=destino; Cada vértice reside em algum caminho de u a v.

9 Fluxo em Redes Deve satisfazer as três propriedades seguintes:
Restrição de capacidade: o fluxo que circulará em um grafo deve ser igual ou menor que a capacidade máxima deste fluxo. f(u,v)  c(u,v) Anti-simetria oblíqua: o fluxo em um direção deve ser igual ao seu fluxo na direção oposta. f(u,v)=-f(u,v) Conservação de fluxo: O fluxo que entra deve ser igual ao que sai.

10 Fluxo em Redes Redes de fluxo com múltiplas fontes e/ou destinos
Definir super-fonte que liga a todas as fontes; Definir super-destino ao qual todos os destinos se ligam; Capacidades infinitas entre super-fonte e fontes, e entre destinos e super-destino.

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12 Fluxo Máximo Número máximo de unidades de fluxo que é possível enviar através da rede desde o nó origem até o nó destino. Considera-se que há conservação de fluxo, ou seja, que o fluxo que parte da origem chega totalmente ao destino não havendo, portanto perdas no caminho.

13 Problema do Fluxo Máximo
Para resolver o problema do fluxo máximo foram propostos os seguintes algoritmos: O célebre método dos caminhos de aumento de Ford e Fulkerson, que foi o primeiro algoritmo proposto; Goldberg e Tarjan propuseram um novo método conhecido como método do pré-fluxo. Algoritmo de Edmonds-Karp propôs o algoritmo dos caminhos de aumento de comprimento mínimo. Obs.: Neste trabalho foi enfatizando o Método de Ford-Fulkerson

14 Método de Ford-Fulkerson
Depende de três idéias importantes: Redes residuais: Consiste em arestas que podem admitir mais fluxo. Caminhos em ampliação: Consiste de um caminho simples desde a origem até a rede residual. Cortes: um corte é um conjunto de arcos orientados contendo, pelo menos, um ramo de cada caminho da origem ao destino.

15 Redes residuais - conceito
Seja G = (V;E). Dado um fluxo f(s; v) em G, a capacidade residual cf é a quantidade de fluxo adicional que pode passar por (s; v) sem exceder a capacidade c(s; v): cf (u; v) = c(u; v) - f(u; v) Assim, se por exemplo c(s; v) = 5 e f(s; v) = 4, ainda pode-se aumentar o fluxo de s para v em cf = 1 unidades antes que a restrição de capacidade seja excedida.

16 Redes residuais - Exemplo
5-4=1 Rede residual

17 Caminhos em ampliação - conceito
Dado um fluxo em rede G = (V;E) e um fluxo f, um caminho em ampliação (ou caminhos de aumento) é um caminho simples de s a t na rede residual Gf . A quantidade máxima pela qual o fluxo pode ser aumentado em um caminho de ampliação é chamada de capacidade residual de p, é expressa por: cf (p) = minfcf (u; v) : (u; v) está em pg Isso quer dizer que a capacidade residual de um caminho em ampliação p corresponde à menor dentre as capacidades das arestas que fazem parte de p.

18 Algoritmo de Ford-Fulkerson
O problema do fluxo máximo pode resolver-se por Programação Linear, mas o algoritmo, devido a Ford-Fulkerson, que se vai descrever é muito mais expedito. Os passos de cada iteração do algoritmo podem ser resumidos do seguinte modo: 1º - Escolhe-se um caminho qualquer desde a origem até ao destino, mas em que os arcos orientados que o constituintes tenham capacidade positiva (>0). 2º - Procurar nesse caminho o arco orientado com menor capacidade, c, 3º - Diminuir de c a capacidade de fluxo em cada arco do caminho no sentido considerado e aumentar de c a capacidade dos arcos no sentido inverso. Regressar ao 1º passo. Se já não existir nenhum caminho em que todos os arcos tenham capacidade positiva, tal significa que já se determinou o fluxo máximo.

19 Algoritmo de Ford-Fulkerson

20 Caminhos de aumento - Exemplo

21 Caminhos de aumento - Exemplo
Vamos aplicar este algoritmo à rede dada. 1º passo - Considere-se, por exemplo, o caminho que passa pelos nós 1, 2, 5 e 7. 2º passo - Verifica-se que a menor capacidade destes arcos orientados, no sentido de 1 para 7, é de 3 = Min(7,3,8), ver fig 1.2. 3º passo - Subtrai-se este valor de 3 a 7 (= 4 no arco 12), a 3 (=0 no arco 2 5) e a 8 (= 5 no arco 5 7); soma-se o mesmo valor a 2 (= 5 no arco 2 1), a 1 (=4 no arco 5  2) e a 4 (= 7 no arco 7  5) e atualizam-se os valores das capacidades.

22 Caminhos de aumento - Exemplo
7-3=4 3-3=0 8-3=5 Caminho: 1,2,5,7 Min(7,3,8)=3

23 Caminhos de aumento - Exemplo
5-4=1 4-4=0 9-4=5 Caminho: 1,4,6,7 Min(5,4,9)=4 1ª interação

24 Caminhos de aumento - Exemplo
9-3=6 3-3=0 5-3=2 3+4=7 7+3=10 Caminho: 1,3,5,7 Min(9,3,5)=3 2ª interação

25 Caminhos de aumento - Exemplo
10+2=12 6-2=4 2-2=0 5-2=3 Caminho: 1,3,6,7 Min(6,2,5)=2 3ª interação 3ª interação

26 Caminhos de aumento - Exemplo
4-5=-1 4ª interação Não existe nenhum caminho com capacidade positiva. Os arcos 25, 3 5, 3  6 e 4  6 têm todos capacidade nula, pelo que não é possível constituir qualquer caminho de 1 a 7 com capacidade maior que zero. Está, portanto, encontrado o fluxo máximo possível de deslocar desde o nó origem até ao nó destino, 12 unidades de fluxo.

27 Teorema do Fluxo Máximo
Apesar deste algoritmo ser bastante simples, se apenas se quisermos conhecer o valor do fluxo máximo do nó origem para o nó destino e se tratar de uma rede com grandes dimensões, é possível resolver este problema através do Teorema do Fluxo Máximo: “Para toda a rede com uma só origem e um só destino o fluxo máximo é igual ao valor mínimo de corte entre todos os cortes possíveis da rede”.

28 Cortes de fluxo - conceito
Um corte(S,T) de um fluxo em rede G = (V;E) é uma separação do conjunto de vértices V em dois conjuntos S e T = V - S, de forma que a origem s 2 S e o depósito t 2 T. Se f é um fluxo, então o fluxo líquido pelo corte (S; T) é definido como f(S; T). A capacidade do corte (S; T) é c(S; T). Um corte mínimo de uma em rede é um corte cuja capacidade é mínima dentre todos os cortes da rede.

29 Cortes de fluxo - exemplo
Utilizado em redes de grandes dimensões 3 2 4 7+9+5=21 8 9 3 1 7 2 5 7 9 5 8+9=17 =20 12 =12 Fluxo máximo é igual ao valor mínimo de corte entre todos os cortes possíveis da rede.

30 Um problema para pensar ...
O professor Ademar tem dois filhos que, infelizmente, não gostam nem um pouco um do outro. O problema é tão grave que eles não só se recusam a caminhar até a escola juntos, mas de fato cada um se recusa a passar por qualquer quadra que o outro filho tenha percorrido no mesmo dia. Os filhos não tem nenhum problema com o fato de seus percursos se cruzarem em uma esquina. Felizmente, tanto a casa do professor quanto a escola estão em esquinas, mas além disso ele não está certo de que vai ser possível enviar ambos os filhos à mesma escola. O professor tem um mapa da sua cidade. Mostre como formular o problema de determinar se os dois filhos do professor podem freqüentar a mesma escola como um problema de fluxo máximo.

31 Referências CORMEN, T. H. et al. Algoritmos: teoria e prática. Rio de Janeiro: Campus, 2002 . Sites: Demonstração: