CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafos Orientados (digrafos)

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1 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafos Orientados (digrafos)

2 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Orientado ou digrafo Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v 1, …, v n } é um conjunto de vértices e A = {a 1, …, a k } é um conjunto de arcos tais que a k, k=1,…,m é representado por um par ordenado (v i,v j ) de vértices, i,j = 1,…,n. c d e f

3 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Lista de adjacência 3 2 1 4 2 1 4 1 4 2 2 3 1 2 3 5 4 1 2 3 4 5 4 2 1 2 1 3

4 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência Seja G = (V,A) A = (a ij ), 1 i,j n a ij = 1, quando (i,j) A 0, caso contrário

5 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência a e b c d 01101 00000 01010 01000 00100 abcd e a b c e d

6 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: Matriz não necessariamente simétrica. Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arcos grafos sem laços

7 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Incidência Seja G = (V,E) B = (b kl ), 1 k n, 1 l m b kl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial do arco l -1, quando o vértice k é extremidade final do arco l 0, caso contrário

8 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matriz de Incidência (a,b)(a,c)(a,e) (c,b) (c,d) (d,b)(e,c) +1 0000 00 0 0 0 0+1 0 0000 +10 00000+1 e a b c d a e b c d

9 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Relações de adjacência Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y X é sucessor de x X quando existe (x,y) U. Diz-se também que x é antecessor de y. – + (x): conjunto de sucessores de x – - (x): conjunto de antecessores de x

10 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Vizinhança Vizinho ou vértice adjacente de um vértice x, em um grafo orientado ou não, é todo vértice y que participa de uma ligação (arco ou aresta) com x. xx + (x) - (x)

11 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Vizinhança Seja A X. Então + (A) = U + (x), x A a e b c d A Idem para - (A)!

12 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Fechos Transitivos Conjuntos que representam ligações diretas ou indiretas entre vértices em grafos orientados. Diz-se que um vértice y é atingível a partir de x em um grafo G quando existe em G uma seqüência de sucessores que começa em x e termina em y.

13 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Fecho Transitivo Direto + (x): conjunto de vértices de G atingíveis a partir de x ^

14 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Fecho Transitivo inverso - (x): conjunto de vértices de G a partir dos quais x é atingível ^

15 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Incidência Um arco incide exteriormente em x X se x for extremidade inicial e interiormente se x for extremidade final do arco. O arco (i,j) é incidente em A X de um grafo G, se ele tem uma e só uma extremidade em um vértice pertencente a A. (i,j) é incidente a A: interiormente (i A, j A) exteriormente (i A, j A)

16 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grau de um vértice Semigrau exterior (d + (x)): número de arcos incidentes exteriormente a x Semigrau interior (d - (x)): número de arcos incidentes interiormente a x d(x) = d + (x) + d - (x) Vértice nulo: d + (x) = d - (x) = 0

17 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Isomorfismo Seja G um digrafo e G´ o grafo correspondente sem orientações. Seja G´ um grafo não orientado. Então G, obtido a partir de G´ definindo-se uma orientação arbitrária de suas arestas é dito digrafo associado a G.

18 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Isomorfismo Se G é um digrafo e G´ é um grafo não orientado obtido a partir de G: único. Se G é um grafo não orientado e G´ é orientado, obtido a partir de G: várias possibilidades.

19 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Isomorfismo Quando dois digrafos G1 e G2 são isomorfos? –Os grafos não orientados G1´ e G2´ correspondentes a G1 e G2 devem ser isomorfos. –As orientações entre as arestas correspondentes devem ser as mesmas.

20 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Alguns tipos de digrafos Simples: sem laços ou arcos paralelos Assimétrico: possui no máximo um arco entre cada par de vértices Simétrico: para cada par de vértices existe um arco em cada direção Completo simétrico (n(n-1) arcos) Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos)

21 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percursos Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido. Caminho direcionado: percurso simples sem repetição de vértices Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção.

22 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conexidade Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não direcionado a d b c

23 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conexidade Grafo semi-fortemente conexo ou sf- conexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou seja, entre eles existe um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis) a d b c

24 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conexidade Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado a b c

25 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Níveis de Conexidade s-conexo f-conexo sf-conexo

26 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes f-conexas Atingibilidade recíproca: (simetria) Todo vértice é atingível a partir de si mesmo: (reflexividade) Se z é atingível a partir de y e y é atingível a partir de x então z é atingível a partir de x: (transitividade) relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G

27 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes f-conexas Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais. Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo.

28 CC/EC/Mestrado/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Árvores Uma árvore é um digrafo s-conexo sem circuitos ou ciclos no grafo não orientado associado a d b c