Seminário – LCS/LPS Marcio Eisencraft

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1 Seminário – LCS/LPS Marcio Eisencraft
Qualificação 10/04/2017 Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais Boa tarde, gostaria de agradecer a presença de todos. Pretendo apresentar de forma bastante suscinta do que se trata minha tese de doutoramento cujo título é “Contribuições da teoria da estimação para modulações digitais que utilizam sinais caóticos”. Meu orientador é o professor Luiz Antonio Baccalá e na fase inicial do trabalho, fui orientado pelo Prof. Max Gerken, à memória de quem esse trabalho é dedicado. Marcio Eisencraft

2 Sumário da apresentação
Qualificação Sumário da apresentação 10/04/2017 Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos Pesquisa e trabalhos atuais A apresentação segue a estrutura da tese: Inicialmente são apresentados os objetivos do trabalho; em seguida trata-se de alguns aspectos da teoria de sinais caóticos importantes para o trabalho e a estrutura básica dos sistemas de comunicações digitais discutidos. Em seguida, passa-se pelo estado da arte em modulação digital utilizando portadoras caóticas, discutindo-se as limitações de alguns dos sistemas já conhecidos na literatura. Na seqüência discute-se resultados relacionados à estimação de sinais caóticos obtidos na tese e modulações utilizando estimação de sinais caóticos. Encerrando a apresentação, resumem-se as contribuições da tese e propostas de trabalhos futuros.

3 1. Sinais Caóticos Sinais caóticos:
Qualificação 10/04/2017 1. Sinais Caóticos Sinais caóticos: Limitados Determinísticos Aperiódicos Dependência sensível com as condições iniciais Características levam a aplicações de sinais caóticos em diversas áreas tecnológicas Telecomunicações desde Áreas: modulação, codificação, criptografia entre outras Objetivos do trabalho: -> Obter uma representação de tempo discreto unificada para modulações que utilizam portadoras caóticas facilitando assim sua análise e simulação; -> Obter limites de desempenho para estimadores de órbitas caóticas e de suas condições iniciais e realizar comparações entre os diversos estimadores possíveis. -> Apresentar e analisar modulações digitais que empreguem a estimação de órbitas caóticas podendo utilizar mapas mais genéricos do que as modulações desse tipo já propostas na literatura.

4 Qualificação 1.1 Caos - Histórico 10/04/2017 Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. Poincaré - Soluções muito complicadas Década de Assunto retomado: Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas. Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais Década de Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas Década de Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua); Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se: Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), .Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros

5 1.2 Equações de diferenças
Qualificação 1.2 Equações de diferenças 10/04/2017 Modelo populacional exponencial Exemplo: a = 2 n s1(n) s2(n) 1 5 2 10 4 20 3 8 40 16 80 32 160  Neste trabalho usa-se a seguinte definição: Um sinal com condição inicial s_0 é dito caótico se é aperiódico e apresenta dependência sensível com as condições iniciais. Por exemplo, os dois primeiros gráficos mostram duas órbitas do mapa quadrático com condições iniciais ligeiramente diferentes, porém, após cerca de 20 iterações, os sinais já estão completamente separados no espaço de fase, como mostra o módulo do erro entre elas mostrado no último gráfico.

6 Qualificação 10/04/2017 Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente

7 1.2 Equações de diferenças
Qualificação 1.2 Equações de diferenças 10/04/2017 Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais a = 2,8 n s1(n) s2(n) 0.4000 0.8000 1 0.6720 0.4480 2 0.6172 0.6924 3 0.6616 0.5963 4 0.6269 0.6740 5 0.6549 0.6628 6 0.6328 0.6258 7 0.6506 0.6557  0.6429 Neste trabalho usa-se a seguinte definição: Um sinal com condição inicial s_0 é dito caótico se é aperiódico e apresenta dependência sensível com as condições iniciais. Por exemplo, os dois primeiros gráficos mostram duas órbitas do mapa quadrático com condições iniciais ligeiramente diferentes, porém, após cerca de 20 iterações, os sinais já estão completamente separados no espaço de fase, como mostra o módulo do erro entre elas mostrado no último gráfico.

8 Qualificação 10/04/2017 Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial

9 1.2 Equações de diferenças
Qualificação 1.2 Equações de diferenças 10/04/2017 a = 3,3 n s1(n) s2(n) 0.1500 0.8000 1 0.4207 0.5280 2 0.8043 0.8224 3 0.5195 0.4820 4 0.8237 0.8239 5 0.4791 0.4787 6 0.8236 0.8235 7 0.4795 0.4796  0.4794 Neste trabalho usa-se a seguinte definição: Um sinal com condição inicial s_0 é dito caótico se é aperiódico e apresenta dependência sensível com as condições iniciais. Por exemplo, os dois primeiros gráficos mostram duas órbitas do mapa quadrático com condições iniciais ligeiramente diferentes, porém, após cerca de 20 iterações, os sinais já estão completamente separados no espaço de fase, como mostra o módulo do erro entre elas mostrado no último gráfico.

10 Qualificação 10/04/2017 Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores

11 1.2 Equações de diferenças
Qualificação 1.2 Equações de diferenças 10/04/2017 a = 3,5 n s1(n) s2(n) 0.1500 0.8000 1 0.4462 0.5600 2 0.8649 0.8624 3 0.4090 0.4153 4 0.8460 0.8499 5 0.4560 0.4465 6 0.8682 0.8650 7 0.4005 0.4088  0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 Neste trabalho usa-se a seguinte definição: Um sinal com condição inicial s_0 é dito caótico se é aperiódico e apresenta dependência sensível com as condições iniciais. Por exemplo, os dois primeiros gráficos mostram duas órbitas do mapa quadrático com condições iniciais ligeiramente diferentes, porém, após cerca de 20 iterações, os sinais já estão completamente separados no espaço de fase, como mostra o módulo do erro entre elas mostrado no último gráfico.

12 Qualificação 10/04/2017 Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores

13 1.2 Equações de diferenças
Qualificação 1.2 Equações de diferenças 10/04/2017 a = 4 n s1(n) s2(n) 0.3000 0.3001 1 0.8400 0.8402 2 0.5376 0.5372 3 0.9943 0.9945 4 0.0225 0.0220 5 0.0879 0.0860 6 0.3208 0.3143 7 0.8716 0.8621 8 0.4476 0.4755 9 0.9890 0.9976  ? Neste trabalho usa-se a seguinte definição: Um sinal com condição inicial s_0 é dito caótico se é aperiódico e apresenta dependência sensível com as condições iniciais. Por exemplo, os dois primeiros gráficos mostram duas órbitas do mapa quadrático com condições iniciais ligeiramente diferentes, porém, após cerca de 20 iterações, os sinais já estão completamente separados no espaço de fase, como mostra o módulo do erro entre elas mostrado no último gráfico.

14 Qualificação 10/04/2017 Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais CAOS

15 Caos em Sistemas Discretos
Qualificação 10/04/2017 Caos em Sistemas Discretos Mapa Logístico

16 1.3 Equações diferenciais
Qualificação 10/04/2017

17 1.4 Propriedades interessantes
Qualificação 1.4 Propriedades interessantes 10/04/2017 Propriedades interessantes dos sinais caóticos para Telecomunicações: Ocupam largas faixas de freqüências; Função de autocovariância impulsiva; Função de covariância cruzada com outras órbitas com valores muito baixos. Propriedades desejadas para modulações spread spectrum. Registrador de deslocamento Códigos de Gold Espalhamento espectral: banda maior do que a mínima necessária; código que gera o espalhamento independente da informação

18 Sumário da apresentação
Qualificação Sumário da apresentação 10/04/2017 Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos Pesquisa e trabalhos atuais A apresentação segue a estrutura da tese: Inicialmente são apresentados os objetivos do trabalho; em seguida trata-se de alguns aspectos da teoria de sinais caóticos importantes para o trabalho e a estrutura básica dos sistemas de comunicações digitais discutidos. Em seguida, passa-se pelo estado da arte em modulação digital utilizando portadoras caóticas, discutindo-se as limitações de alguns dos sistemas já conhecidos na literatura. Na seqüência discute-se resultados relacionados à estimação de sinais caóticos obtidos na tese e modulações utilizando estimação de sinais caóticos. Encerrando a apresentação, resumem-se as contribuições da tese e propostas de trabalhos futuros.

19 2.1 Sistema de Wu e Chua Sincronismo de sistemas caóticos
Qualificação 2.1 Sistema de Wu e Chua 10/04/2017 Sincronismo de sistemas caóticos Mensagem inserida na geração do sinal

20 Exemplos - Sistema de Wu e Chua
Qualificação 10/04/2017 Exemplos - Sistema de Wu e Chua

21 2.2 Influência da Limitação em Banda
Qualificação 10/04/2017 2.2 Influência da Limitação em Banda m(t) = sen(2500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB

22 2.2 Influência da Limitação em Banda
Qualificação 10/04/2017 fcs = 0,7 fcs = 0,7 fci = 0,02 fci = 0,02 fci = 0,02

23 2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda
Qualificação 2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda 10/04/2017 Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido. EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000.

24 2.4 Resultados Obtidos fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
Qualificação 2.4 Resultados Obtidos 10/04/2017 fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63 fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63 fci =0,02, fli =0,05

25 2.5 Diminuindo os efeitos do ruído
Qualificação 10/04/2017 2.5 Diminuindo os efeitos do ruído Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor

26 2.6 Modulações digitais Qualificação 10/04/2017 Símbolo transmitido como os coeficientes de uma combinação linear de sinais caóticos Receptor coerente Transmissor – Nb=1 Receptor não-coerente

27 2.7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying
Qualificação 10/04/2017 CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos Modulador DCSK Demodulador diferencial

28 2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK
Qualificação 2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK 10/04/2017 Modificação do DCSK – energia por símbolo constante Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM Energia do sinal FM independe do sinal modulante Modulador em freqüência | 1 |  Magnitude-ângulo para complexo

29 2.9 Simulações Qualificação 10/04/2017
EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, v. 1. p. 1-6. Neste gráfico são mostradas taxas de erro de símbolo em função de Eb/N0 para os sistemas analisados. As curvas azul e verde mostram o fraco desempenho dos sistemas CSK unipolar e COOK. Em seguida, em ordem crescente de desempenho, segue o DCSK e o FM-DCSK. Para comparação, também são mostradas as taxas de erro para o ASK e o DPSK convencionais, que ainda tem desempenho melhor em termos de taxa de erro de símbolo em relação às modulações caóticas.

30 2.10 Comparações entre os sistemas
Qualificação 2.10 Comparações entre os sistemas 10/04/2017 Sistema Limiar Energia Sincronização Não uso da dinâmica CSK coerente X CSK não-coerente DCSK FM-DCSK

31 Sumário da apresentação
Qualificação Sumário da apresentação 10/04/2017 Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos Pesquisa e trabalhos atuais A apresentação segue a estrutura da tese: Inicialmente são apresentados os objetivos do trabalho; em seguida trata-se de alguns aspectos da teoria de sinais caóticos importantes para o trabalho e a estrutura básica dos sistemas de comunicações digitais discutidos. Em seguida, passa-se pelo estado da arte em modulação digital utilizando portadoras caóticas, discutindo-se as limitações de alguns dos sistemas já conhecidos na literatura. Na seqüência discute-se resultados relacionados à estimação de sinais caóticos obtidos na tese e modulações utilizando estimação de sinais caóticos. Encerrando a apresentação, resumem-se as contribuições da tese e propostas de trabalhos futuros.

32 3.1 CRLB - Formulação do problema
Qualificação 3.1 CRLB - Formulação do problema 10/04/2017 Sistema dinâmico Seqüência observada sendo r (n) AWGN com média nula Determinar o menor mse que um estimador sem viés de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB). O problema abordado na primeira parte do capítulo pode ser colocado da seguinte forma: Dado o sistema dinâmico (ler eq.) e um trecho de órbita s’(n) de comprimento N corrompida por ruído branco gaussiano de média nula, Determinar o menor valor que o erro médio quadrático de um estimador sem viés da condição inicial s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.).

33 Teorema 1 Sejam uma órbita do sistema dinâmico
Qualificação Teorema 1 10/04/2017 Sejam uma órbita do sistema dinâmico r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr2 o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita Então, A resposta a este problema é dado pelo Teorema 6. Dado o trecho observado s’(n) em que s(n,s0) é uma órbita do sistema dinâmico s(n+1) = f(s(n)); r(n) é um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância \sigma_r^2 e o mapa f(.) derivável em todos os pontos da óribita, O mse na estimação de s0 é limitado por essa expressão em que aparece um produtório das derivadas do mapa nos pontos da órbita. Verifica-se também que este limite depende de s_0, a condição inicial sendo estimada.

34 Qualificação Teorema 2 10/04/2017 Nas mesmas condições do Teorema 1, o limite do CRLB quando N → ∞ é L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge Resultado válido para órbitas caóticas ou não. Nas mesmas condições do Teorema 6, o limite do erro médio quadrático quando o número de pontos utilizados na estimação tende a infinito é dado por esta expressão em que L é o número de Lyapunov para o qual a órbita s(n,s0) converge. É interessante frisar que este resultado é válido para órbitas caóticas ou não. EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits. Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p , 2008.

35 3.2 O MLE MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ)
Qualificação 3.2 O MLE 10/04/2017 MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ) Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993) Assintoticamente sem viés e eficiente. Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa fT(.) A seguir apresenta-se o MLE, usado aqui para validar o Teorema 7. Definição: valor do estimador que maximiza a função de verossimilhança. Na estimação de órbitas e condições iniciais ele é fácil de ser obtido para mapas com densidade invariante uniforme. Propriedade importado: ele é assintoticamente sem viés e eficiente, ou seja seu erro médio quadrático aproxima-se do CRLB para N suficienemente grande. Usando o teorema 7, pode-se mostrar que o ganho de estimação do MLE é limitado por esta desigualdade.

36 MLE – Estimação da condição inicial – fI(.)
Qualificação 10/04/2017 Este gráfico mostra o ganho de estimação do MLE em função da relação sinal-ruído na entrada para diversos valores de N. Para valores de SNR elevados, os gráficos convergem para os valores limites expressos pelo Teorema 7, como esperado. Em seguida, são feitos dois cortes neste gráfico para SNR = 20dB e SNR = 90dB. No primeiro caso, os ganhos ainda estão longe dos valores assintóticos e no segundo já estão bem próximos. Estas figuras mostram a variação do ganho com \alpha. Para \alpha = 0, que corresponde ao mapa tenda, como o Teorema 7 é válido para todo N, o CRLB calculado por ele é alcançado.

37 3.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi
Qualificação 10/04/2017 Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de NS estados possíveis Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs Estado q(n) = j se Dedieu e Kisel (1999)  partição uniforme Mapas com densidade uniforme Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme Em seguida, análise da estimação de órbitas caóticas usando algoritmo de Viterbi. A ídéia básica deste algoritmo é interpretar as seqüências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de N_S estados possíveis. Esses estados são definidos a partir da partição do domínio U em NS subintervalos. Essa forma de implementar o algoritmo de Viterbi foi proposta originalmente por Dedieu e Kissel, sendo que eles usam partição uniforme. Porém, esta escolha só apresenta ganhos de estimação significativos para mapas com densidade invariante uniforme. Este fato não é percebido pelos autores porque estes somente utilizam como exemplos mapas com densidade uniforme. Aqui é apresentada uma proposta que permita obter ganhos para mapas mais genéricos: aplicar conjugação aos extremos dos intervalos.

38 Exemplos de matrizes de transição de estados
Qualificação 10/04/2017 O algoritmo de Viterbi utiliza matrizes de transição de estados para caracterizar um determinado mapa. Por exemplo, para o mapa tenda, utlizando-se Ns = 5 subintervalos (mapa tenda tem densidade invariante uniforme) teríamos os intervalos U1 a U5 como mostrado. O intervalo U4 mapeia metade dos seus pontos no intervalo U3 e metade dos seus pontos no intervalo U4, assim, a 4ª linha da matriz de transição de estados será (mostrar matriz). Para o mapa quadrático, para que o algoritmo de Viterbi tenha desempenho equivalente é necessário usar uma partição não-uniforme, como mostra a figura. Desta forma, a matriz de transição neste caso é exatamente a mesma.

39 Simulações - mapa quadrático fQ(.)
Qualificação Simulações - mapa quadrático fQ(.) 10/04/2017 Para mostrar a importância da partição não-uniforme proposta, estes gráficos mostram o desempenho do algoritmo para o mapa quadrático usando a partição uniforme e a partição modificada. Claramente os resultados no último caso são superiores. EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, p

40 3.4. MLE x Viterbi Qualificação 10/04/2017
O próximo passo do trabalho foi uma comparação entre os algoritmos de Viterbi e MLE. O gráfico mostra curvas de ganho de estimação por relação sinal-ruído na entrada quando se utiliza esses algoritmos para estimar órbitas do mapa tenda. Ao contrário do MLE, cujo desempenho depende de N, mostrou-se apenas uma curva do algoritmo de Viterbi, para N = 20. Percebe-se que escolhendo-se Ns convenientemente, a estimação pelo algoritmo de Viterbi pode apresentar ganho superior ao MLE numa larga faixa de SNR; além disso, o algoritmo de Viterbi pode ser aplicado a uma classe mais ampla de mapas. Por outro lado, ele apresenta maior complexidade computacional. Este será o algoritmo escolhido para implementar os sistemas do próximo capítulo.

41 3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas
Qualificação 3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas 10/04/2017 (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001) Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas Receptor Decodificador de Viterbi Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança O primeiro sistema envolvendo estimação estudado foi o ML-CSK com dois mapas. O transmissor é igual ao de um CSK com duas funções de base, ou seja, escolhe-se um entre dois mapas e transmite-se uma seqüência de comprimento N gerada por ele. No receptor, obtém-se uma seqüência de estados estimada usando as matrizes de cada um dos mapas e depois, a partir do sinal recebido, calcula-se qual dos mapas tem maior probabilidade de ter transmitido a seqüência e consequentemente determina-se o símbolo transmitido.

42 Como escolher mapas? (1/2)
Qualificação Como escolher mapas? (1/2) 10/04/2017 Caso mapa tenda: proposta adaptada de (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001) A pergunta que surge neste caso é como escolher os mapas de forma que as respectivas matrizes de transição de estados sejam o mais discriminante possível. No caso do mapa tenda, uma possibilidade proposta por Kisel, Dedieu e Schimming é o mapa f2(.) mostrado neste gráfico. Repare que o f2 sempre mapeia os pontos s a uma distância de 1 unidade em relação a f1. As respectivas matrizes de transição são as seguintes. Reparem que em todas as posições em que A1 é não nula, A2 é nula, o que garante uma discriminação muito boa entre as órbitas dos mapas.

43 Como escolher o mapa? (2/2)
Qualificação Como escolher o mapa? (2/2) 10/04/2017 Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela Ponto fixo superatrator! Porém, este procedimento não é necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela. Exemplificando, poderíamos em princípio aplicar o mesmo princípio quando f1(.) for o mapa tenda. Mas, neste caso, o mapa f2(.) apresenta um ponto fixo superatrator e não apresenta órbitas caóticas. Assim, encontrar o mapa f2(.) não é tarefa simples. A título de exemplo, usamos como f2(.) o seguinte mapa. Neste caso, as matrizes possuem posições simultaneamente não-nulas o que deve diminuir a discriminação no receptor.

44 Qualificação 3.6 ML-CSK com um mapa 10/04/2017 Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base: Receptor: Decodificador de Viterbi -1 Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança O ML-CSK com um mapa tem transmissor igual ao do CSK bipolar. O mapa deve ser escolhido de forma –s1(n) não seja uma órbita válida. No receptor, obtém-se a seqüência de estados estimada invertendo ou não a mudança de sinal. Novamente, um cálculo de verossimilhança permite verificar qual o símbolo transmitido.

45 3.7 Simulações computacionais
Qualificação 10/04/2017 Este gráfico mostra as curvas de SER por Eb/N0 para os sistemas ML-CSK descritos. 2 mapas usando f_t e f_Q e 1 mapa usando f_q e e f_T, a modulação ML-CSK com 1 mapa tem um desempenho levemente superior aos demais e todos tem um desempenho melhor do que o COOK, o CSK sem estimação com melhor desempenho.

46 Qualificação 3.8 Trabalhos futuros (1/2) 10/04/2017 Análise dos sistemas propostos para o caso M-ário Análise da complexidade computacional Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional Uso de modelos de canais mais complicados Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK Certamente ainda há muitas perguntas a serem respondidas nessas aplicações de caos em comunicações. Alguns trabalhos futuros: Determinação da largura de banda dos sinais utilizados nos diversos esquemas de modulação propostos. A tese não tratou dos sinais no domínio da freqüência. Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos. Importante na determinação do limiar em sistemas de demodulação não-coerentes. Análise dos sistemas propostos para o caso M-ário Uso de canais mais complexos, analisando problemas como multipercurso. Possibilidades de multiplexação com outros sinais caóticos – fundamental quando se pensa em aplicações práticas. Generalização dos teoremas 6 e 7 para mapas multidimensionais.

47 Qualificação 3.8 Trabalhos futuros (2/2) 10/04/2017 Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK. Multiplexação – sistemas multiusuários Como calcular a matriz de transição de estados de forma teórica para mapas quaisquer. No trabalho elas foram calculadas sempre numericamente. Análise da complexidade computacional dos algoritmos propostos Otimização da escolha dos mapas e transformações usadas no ML-CSK Aperfeiçoamento do ML-DCSK para que tenha desempennho até superior ao FM-DCSK.

48 Sumário da apresentação
Qualificação Sumário da apresentação 10/04/2017 Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos Pesquisa e trabalhos atuais A apresentação segue a estrutura da tese: Inicialmente são apresentados os objetivos do trabalho; em seguida trata-se de alguns aspectos da teoria de sinais caóticos importantes para o trabalho e a estrutura básica dos sistemas de comunicações digitais discutidos. Em seguida, passa-se pelo estado da arte em modulação digital utilizando portadoras caóticas, discutindo-se as limitações de alguns dos sistemas já conhecidos na literatura. Na seqüência discute-se resultados relacionados à estimação de sinais caóticos obtidos na tese e modulações utilizando estimação de sinais caóticos. Encerrando a apresentação, resumem-se as contribuições da tese e propostas de trabalhos futuros.

49 4.1 Aplicações - Caracterização Convencional
Larga faixa de freqüências Seqüência de autocorrelação impulsiva Seqüência de correlação cruzada com valores baixos Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos Objetivos: Verificar se caos implica banda larga Determinar a banda essencial de sinais caóticos Gerar sinais caóticos com banda pré-definida

50 4.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA
em que Parâmetro  determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda

51 4.2 Mapas tenda inclinada fI (.)
Qualificação 10/04/2017 4.2 Mapas tenda inclinada fI (.) Uma família de mapas que também foi bastante utilizada ao longo do trabalho são os mapas tenda inclinada, representados por f_I(.) da qual o mapa f_T(.) faz parte com \alpha = 0 . A figura mostra uma órbita gerada para o caso \alpha = 0,8.

52 4.3 Caos como processo estocástico
Qualificação 4.3 Caos como processo estocástico 10/04/2017 Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-amostras Seqüência de Autocorrelação (SAC) Densidade Espectral de Potência (DEP) Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade Invariante Exemplo: Ruído Branco Gaussiano DEP FDP A stochastic or random process is a collection of signals corresponding to various outcomes of a random experiment. Each signal is called a sample function There are two functions that characterize a random process: the autocorrelation sequence or equivalently the power spectral density (PSD) which give information about how one point in time is related to other point $k$ samples away The Probability Density Function (PDF) or Invariant density which gives information about the probability of each point of the signal attain a given value For example the most common stochastic process is the white gaussian noise  white is the PSD (there is no correlation between nearby points of the orbit) and gaussian is the PDF – at each instant the probability density of the points of the signals that constitute the random process is a gaussian. It is possible to interpret the chaotic signals generated by a given map as deterministic individual signals or as sample functions of a random process. In the latter case, each initial condition is related to a signal, so a map gives you an ensemble of signals that forms a random process. This is the form we will consider here and we will evaluate the invariant density, the autocorrelation sequence and the power spectral density for the skew tent family of maps.

53 4.4 Densidade Invariante

54 4.5 Seqüência de Autocorrelação
A SAC R ( k ) para um  fixo é definida por Para facilitar a notação, define-se e Assim

55 4.6 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

56 4.7 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos Substituindo as equações de reta em R (k) Iterando-se uma vez,

57 4.7 Seqüência de Autocorrelação
Para  positivos, a SAC decai monotonicamente Para  negativos, a SAC decai de forma oscilatória para 1 = - 2

58 4.7 Seqüência de Autocorrelação

59 4.8 Densidade Espectral de Potência
Qualificação 10/04/2017 4.8 Densidade Espectral de Potência A DEP é dada pela TFTD de R(k) KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, v. 1. p KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, v. 1. p. 1-5.

60 4.8 Densidade Espectral de Potência
Qualificação 10/04/2017 4.8 Densidade Espectral de Potência Quanto maior | |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes Sinal de  define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências Simetria com relação a α = 0.5

61 4.8 Densidade Espectral de Potência
Qualificação 10/04/2017 4.8 Densidade Espectral de Potência

62 4.9 BANDA ESSENCIAL Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)

63 4.9 BANDA ESSENCIAL | |  0: processo ruído branco uniforme
Qualificação 10/04/2017 4.9 BANDA ESSENCIAL | |  0: processo ruído branco uniforme | |  1: banda essencial extremamente estreita

64 410 Espectro - Conclusões parciais
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos Resultados analíticos comprovam resultados numéricos - Verificar se caos implica banda larga Caos não é sinônimo de banda larga Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas freqüências - Determinar a banda essencial de sinais caóticos Fórmula analítica para família tenda inclinada Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov

65 4.10 Espectro - Conclusões parciais
Qualificação 10/04/2017 4.10 Espectro - Conclusões parciais - Gerar sinais caóticos com banda pré-definida É possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada Aplicação em sistemas de comunicação Modulação digital – símbolos diferentes para bandas diferentes - Multiplexação – como no caso convencional Existe unicidade? Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante

66 4.11 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros
Comportamento espectral de outros mapas Propriedades espectrais são mantidas por conjugação? Mapas multidimensionais Estudo de características espectrais de esquemas de modulação caóticos: CSK, DCSK Novas aplicações empregando essa características

67 Sumário da apresentação
Qualificação Sumário da apresentação 10/04/2017 Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos Pesquisa e trabalhos atuais A apresentação segue a estrutura da tese: Inicialmente são apresentados os objetivos do trabalho; em seguida trata-se de alguns aspectos da teoria de sinais caóticos importantes para o trabalho e a estrutura básica dos sistemas de comunicações digitais discutidos. Em seguida, passa-se pelo estado da arte em modulação digital utilizando portadoras caóticas, discutindo-se as limitações de alguns dos sistemas já conhecidos na literatura. Na seqüência discute-se resultados relacionados à estimação de sinais caóticos obtidos na tese e modulações utilizando estimação de sinais caóticos. Encerrando a apresentação, resumem-se as contribuições da tese e propostas de trabalhos futuros.

68 6.1 Trabalhos em andamento
Qualificação 10/04/2017 6.1 Trabalhos em andamento Trabalhos futuros apresentados na seção sobre estimação Trabalhos futuros apresentados na seção sobre espectro Aplicação de conceitos de caos na análise de séries temporais (quasar (CRAAM); voz) Aplicações em seqüências para espalhamento espectral

69 Fim marcio@lcs.poli.usp.br www.lcs.poli.usp.br/~marcio
Qualificação 10/04/2017 Fim