Movimento oscilatório e Caos

Apresentação em tema: "Movimento oscilatório e Caos"— Transcrição da apresentação:

1 Movimento oscilatório e Caos

2 Do mais simples para o mais complicado ...
MHS  Amortecimento Não linearidade Caos Nas aulas anteriores { Hoje

3 Movimento Harmônico Simples
Na penúltima aula: Pêndulo simples 

4 Movimento Harmônico Simples
Hoje: pêndulo não-linear  sen()   forçado FDsen(Dt) amortecido -b d/dt 

5 Decompondo FR=0 PR=T F = P+Fext +Famort Mas s=l

6 P =-mg sen() Fext=FDsen(Dt) Famort=-b d/dt Tomando FD/ml e q  b/ml

7 Juntando 1 equação diferencial não-linear não-homogênea de 2a ordem Solução desconhecida!

8 Aplicar o Método de Euler-Cromer
Transformar 1 equação diferencial de 2a ordem em 2 equações diferenciais de 1a ordem

9 Como aplicar o Método de Euler-Cromer?
2 equações de 1a ordem

10 Iterando  Igual a aulas anteriores i+t= i + i+1t

11 Iterando 

12 i+t= i – (g/l)senit-qit+sen(Dti) t
Iterando  i+t= i – (g/l)senit-qit+sen(Dti) t diferente das aulas anteriores

13 0=... e 0=... i+t= i + i+1t O programa Inicializa { Itera
i+t= i - (g/l)senit -qit+sen(Dti) t Itera (até n) i+t= i + i+1t Print, write ... Imprime

14 Testando o programa l =1m g = 9,8 m/s2 t= 0,04 s 0= 0 = 0 q= 0
0=0,2 rad sen(0)=0,199  sen(0) 0

15 Rodando o programa 0=0,2 rad sen(0)= 0,199  sen(0) 0 Ok !

16 Amortecimento Sub-crítico crítico

17 Amortecimento

18 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s2 =2 t= 0,04 s transiente 0= 0
0= 0.02 q= 0.625 = 0.0 transiente

19 Força externa q= 0.625 = 0 = 0.5 = 1.2 transiente

20 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s2 CAOS! t= 0,04 s q= 0.5 0= 0
0= 0.02 CAOS!

21 Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s2 t= 0,04 s 0= 0 0= 0.02 q= 0.5

22 Caos Um sistema pode obedecer às
leis determinísticas da física e ainda assim ter seu comportamento não predizível devido a uma extrema sensibilidade às condições iniciais Esse sistema é dito caótico

23 Trajetória no espaço de fase
0= 0.02 q= 0.5 = 0.5 Sem caos

24 Trajetória no espaço de fase
0= 0.02 q= 0.5 = 1.2 Tf=60s Caos

25 Caos Tf=360s

26 Sensibilidade às condições iniciais
= 0.5 (t=0)=0.001  ~ et ~-0.25 < 0

27 Expoente de Liapunov = 1.2 (t=0)=0.001  ~ et  > 0

28 Caos Caos Transição:  = 0 Sem caos < 0  > 0 =0.5 =1.2
 > 0 Caos  > 0.5  < 1.2 Transição:  = 0

29 Bifurcação Para cada  (FD) calcula-se (t) Depois de 300 períodos (transiente vai a zero) Até 400 períodos  Pegar  para t em fase com a força externa: Dt=n

30 Bifurcação

31 Computational Physics
Referência Computational Physics Nicholas J. Giordano