Análise Numérica - Apresentação

Apresentação em tema: "Análise Numérica - Apresentação"— Transcrição da apresentação:

1 Análise Numérica - Apresentação
Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador Análise Numérica - Apresentação

2 Análise Numérica - Apresentação
Porquê? Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia Engenharia Medicina ... Análise Numérica Análise Numérica - Apresentação

3 Análise Numérica - Apresentação
Como funciona? Aulas teóricas (teoria + exemplos) Aulas práticas (máquina de cálcular + computador ) Avaliação Prova prática (computador) – (2 valores) + Exame final (máquina de calcular) – (18 valores) Questão (computador) – (2 valores) Análise Numérica - Apresentação

4 Análise Numérica - Apresentação
Bibliografia Apontamentos na editorial (e na página da disciplina) Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos Pina, Heitor; Métodos numéricos Burden, Richard L.; Numerical Analysis Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysis Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineers Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using Matlab Análise Numérica - Apresentação

5 Análise Numérica - Apresentação
Programa Equações não lineares – Métodos iterativos Problema: Encontrar as raízes de Objectivo: Determinar Análise Numérica - Apresentação

6 Análise Numérica - Apresentação
Programa Métodos iterativos Reescrever a equação: Ambas são verificadas para Análise Numérica - Apresentação

7 Análise Numérica - Apresentação
Programa n xn xn+1 1 1,5 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo: Produz uma solução aproximada Processo rápido (neste caso) Análise Numérica - Apresentação

8 Análise Numérica - Apresentação
Programa Sistemas de equações lineares Métodos Directos Métodos Iterativos Aproximação polinomial Interpolação polinomial Introdução ao método dos mínimos quadrados Análise Numérica - Apresentação

9 Análise Numérica - Apresentação
Programa Integração numérica Diferenciação numérica Introdução à resolução numérica de equações diferenciais Exemplo: Movimento do pêndulo Análise Numérica - Apresentação

10 Análise Numérica - Apresentação
Programa Métodos Numéricos soluções aproximadas. Como controlar o erro? Teoria de erros Análise Numérica - Apresentação

11 Análise Numérica - Apresentação
Como se cometem erros?... parcelas somas parciais 7, E-01 -8, E-02 7, E-01 2, E-03 7, E-01 -3, E-05 7, E-01 3, E-07 7, E-01 -1, E-09 7, E-01 6, E-12 7, E-01 -2, E-14 7, E-01 4, E-17 -8, E-20 sin( ) ≈ 0, Análise Numérica - Apresentação

12 Erros dos instrumentos de cálculo
Exemplo f(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y) Matlab f(77617,33096) = e+021 (Matlab) Maple f(77617,33096) = … (40 Digits) f(77617,33096) = 0.1…× (30 Digits) Resultado exacto = … Análise Numérica - Apresentação

13 Representação dos números
Números em vírgula flutuante (float) Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos Números representados pela máquina (só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon)) Epsilon=M=b-t+1 Float= sinal  mantissa  baseexpoente overflow underflow -xmax -xmin xmin xmax Análise Numérica - Apresentação

14 Análise Numérica - Apresentação
Uma pequena animação Para ver o efeito de t e k na fórmula Clique aqui Nota: Se não consegue ver, instale o Macromedia Flash Player (em ) Análise Numérica - Apresentação

15 Representação dos números
Exemplos: (32.4)10  102 (310-1+210-2+410-3)102 ( )2  24 (12-1+02-2+12-3+ 12-4+12-5+12-6)24 Análise Numérica - Apresentação

16 – Erros computacionais
Qual a causa dos erros? Nem todos os números podem ser representados A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante Análise Numérica - Apresentação

17 Como aparecem resultados diferentes?
Exemplo 25632  1862.9=-9.9 (exacto) Máquina de cálcular com base=10 e: t resultado 5 .19360  106=2010 6   106=-991 7   106=9.1 8   106=-10.9 Análise Numérica - Apresentação

18 Porque aparecem resultados tão diferentes?
Erro > resultado Análise Numérica - Apresentação

19 Análise Numérica - Apresentação
Como se podem evitar? Usando máquinas mais precisas. Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos. Casa: Calcule as duas expressões para Maple Análise Numérica - Apresentação