1 Constraints and Logic Programming All problems involving finite domains (including booleans, and sets) may be solved, in principle, with logic programming.

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1 1 Constraints and Logic Programming All problems involving finite domains (including booleans, and sets) may be solved, in principle, with logic programming (LP) alone. (after all, finite domains are a subset of the Herbrand Universe: constants). Why should one move towards Constraint Programming (CP), rather than staying within LP? –Greater Efficiency: Most combinatorial problems are more easily solved by constraint propagation than simple generate and test implememted in LP. –Greater Expressiveness: Specific constraints are harder to express in LP (e.g. conditional constraints, global constraints).

2 2 Constraints and Logic Programming If propagation of constraints is so important for solving constraint (satisfaction / optimisation) problems why not to abandon LP altogether and move towards Constraint Logic Programming (CLP). –Modelling - Declarativeness LP features such as unification (allowing flexible input/output parameters) and backtracking provide a declarative style of programming where constraints can be very easily expressed. –Natural extension: The semantics of LP already assume a special type of constraint processing – equality of Herbrand terms. All that CLP requires is an extension of this constraint solving capabilities to other useful domains.

3 3 Operational Semantics of CLP The operational semantics of CLP (LP is a special case) can be described as a transition system on states. The state of a constraint solving system can be abstracted by a tuple where –G is a set of constraints (goals) to solve –C is the set of active constraints –S is a set of passive constraints Sets C, S are considered the Constraint Store. A derivation is just a sequence of transitions. A state that cannot be rewritten is a final state. An executor of CLP (LP) aims at finding successful final states of derivations starting with a query.

4 4 Operational Semantics of CLP A derivation is failed if it is finite and its final state is fail. A derivation is successful if it is finite and processes all the constraints, i.e. it ends in a state with form The state transitions are the following S(elect): Select a goal (constraint) It is assumed that –A computation rule selects some goal g, among those still to be considered. –This goal requires some constraint c to be solved and/or further goals, G, to be considered g requires solving constraint c and other goals G s

5 5 Operational Semantics of CLP The other transition rules require the existence of two functions, infer(C,S) and consistent(C), adequate to the domains that are considered. I(nfer): Process a constraint, inferring its consequences C(heck): Check teh consistency of the Store (C, S) = infer(C,S) i consistent (C) c ¬ consistent (C) c fail

6 6 Operational Semantics of CLP In Logic Programming Handling a goal g is simply checking whether there is a clause h B whose head h matches the goal. In this case, the equality constraint between Herbrand terms g=h is added to the passive store. Function infer(C,S) performs unification of the terms included in g and h, after applying all substitutions included in C function infer(C, g=h) if unify(gC,hC, C) then infer=(success, C) else infer = (fail,_); end function Checking consistency is simply checking whether the previous unification has returned success or failure (in practice the two functions are of course merged). g is a goal h B s

7 7 Operational Semantics of CLP For example, assuming that –C = {X / f(Z), Y / g(Z,W)} % a solved form –G includes goal p(Z,W) –there is a clause p(a,b) :- B. then the following transitions take place, when goal p(Z,W) is called s % goal selection i,c % unification

8 8 Operational Semantics of CLP In Constraint Logic Programming Handling a goal g is as before. Handling a constraint in a certain domain, usually built-in, simply places the constraint in set S.. Function infer(C,S) propagates the constraint to the active store, by methods that depend on the constraint system used. Tipically, –It attempts to reduce the values in the domains of the variables; or –obtain a new solved form (like in unification) Checking consistency also depends on the constraint system. –It checks whether a domain has become empty; or –It was not possible to obtain a solved form. g is a constraint s

9 9 Operational Semantics of CLP A positive example Assuming that variables A and B can take values in 1..3, then the constraint store may be represented as C,S = {A in 1..3, B in 1..3}, { } Rule S: If the constraint selected by rule S is A > B, then the store becomes C,S = {A in 1..3, B in 1..3}, { A > B} Rule I: The Infer rule propagates this constraint to the active store, which becomes C,S = {A in 2..3, B in 1..2, A > B}, { } Rule C: The system does not find any inconsitency in the active store, so the system does not change..

10 10 Operational Semantics of CLP A negative example Assuming that variables A and B can take, respectively values in the sets {1,3,5} and {2,4,6}. The constraint store may be represented as C,S = { A in {1,3,5} B in {2,4,6}, { } Rule S: If the constraint selected by rule S is A = B, the store becomes C,S = { A in {1,3,5} B in {2,4,6} }, { A = B } Rule I: The rule propagates this constraint to the active store. Since no values are common to A and B, their domains become empty C,S = {A in {}, B in {} }, { } Rule C: This rule finds the empty domains and makes the transition to fail (signaling the system to backtrack in order to find alternative successful derivations).

11 11 (C)LP solutions In LP and CLP, solutions are obtained, by inspecting the constraint store of the final state of a successful derivation. In systems that maintain a solved form, (like LP, but also constraint systems CLP(B) for booleans, and CLP(Q), for rationals), solutions are obtained by projection of the store to the relevant variables. For example if the initial goal was p(X,Y) and the final store is {X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c} then the solution is the projection to variables X and Y {X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c} In systems where a solved form is not maintained, solutions require some form of enumeration. For example, from C = {X in 2..3, Y in 1..2, X > Y}, the solutions, and, are obtained by enumeration.

12 12 Restrições Booleanas O domínio dos Booleanos (ou variáveis 0/1) tem especial aplicação em aplicações –Envolvendo circuitos digitais Exemplo: Circuito semi-somador –Em problemas envolvendo escolhas binárias Exemplo: Rainhas –Em problemas que envolvam conjuntos B G1 G2G2 A C S

13 13 Restrições Booleanas Nas restrições booleanas (de igualdade) podem ser utilizadas os habituais operadores (not, and, or, nand, nor, xor,...). Modelo do semi-somador C = and(A,B) S = xor(A,B ) B G1 G2G2 A C S

14 14 Restrições Booleanas As restrições (correspondentes às variáveis Booleanas) podem ser igualmente expressas com esses operadores Modelo das 4-rainhas or(Q1, Q2, Q3, Q4)% Linha 1 and(Q1,Q2) = 0% Linha 1.... and(Q1, Q6) = 0% Diagonal

15 15 Restrições Booleanas A satisfação de restrições booleanas pode ser abordada de várias formas diferentes –Simbolicamente Unificação booleana –SAT Colocação de todas as restrições na forma clausal Resolução construtiva (retrocesso) ou reparativa (pesquisa local) –Domínios finitos O domínio 0/1 é um domínio finito com 2 valores Resolução comum aos domínios finitos

16 16 Restrições Booleanas Para verificar a satisfação de restrições booleanas de uma forma simbólica é conveniente converter todas as restrições de forma a usar apenas, –os operadores + (ou-exclusivo) e · (conjunção), –constantes booleanas 0 e 1 ( e outras constantes, dependentes do domínio) – variáveis denotadas por letras maiúsculas Isto é sempre possível, já que o conjunto {0, 1, +, ·} é completo.

17 17 Restrições Booleanas Com efeito, dados os termos arbitrários a e b, todos os operadores e constantes podem ser expressos através destes operadores a b= a · b a b= a + b + a · b a= 1 + a a b= 1 + a + a · b a b= 1 + a + b Termos arbitrários serão denotados por minúsculas

18 18 Restrições Booleanas Mais formalmente, o tuplo, em que A é um qualquer domínio (contendo os elementos 0 e 1), constitui um anel booleano se se verificarem as seguintes propriedades Associatividade a+(b+c) = (a+b)+ca·(b·c) = (a·b)·c Comutatividade a + b = b + aa·b = b·a Distribuição a+(b·c) = (a+b)·(a+c) a·(b+c) = a·b+a·c Elemento Neutro a+0 = aa·1 = a Exclusividade e Idempotência a+a = 0 a·a = a Elemento Absorvente a·0 = 0

19 19 Restrições Booleanas As restrições booleanas que consideraremos resumem-se à igualdade, já que todas as outras se podem exprimir em função da igualdade. Por exemplo, dada a equivalência a b a b = a a b = b a restrição de inclusão de conjuntos acima pode ser reescrita em termos de igualdade como a + b + a·b = b a + b + b + a·b = b + b a + a·b = 0 a·b = a

20 20 Restrições Booleanas Conjuntos –A constante 1 corresponde ao conjunto U (Universal) –A constante 0 corresponde ao conjunto Ø (Vazio) –O operador + corresponde à União Exclusiva –O operador · corresponde à Intersecção De notar que no caso de conjuntos, uma vez definido os elementos que contém o conjunto universal, para além das constantes 0 e 1, o domínio A contém todos os subconjuntos de U.

21 21 Restrições Booleanas Circuitos digitais –A constante 1 corresponde ao H –A constante 0 corresponde ao L –O operador + corresponde ao XOR –O operador · corresponde ao AND A C D B E F G H I G1 G2 G3 G4 G5 E = A + B +A·B F = 1 +B·C G = C·D H = 1 + E·F I = 1 + F·G

22 22 Unificação Booleana A implementação de CLP(B) mantem as restrições numa forma resolvida, obtida através da unificação booleana. Uma restrição booleana tem a forma t 1 = t 2 (em que os dois termos Booleanos, t 1 e t 2 são formados exclusivamente a partir dos operadores + e ·. A restrição booleana t 1 = t 2 pode ser satisfeita sse existir um unificador booleano para os dois termos t 1 e t 2. Um unificador booleano é uma substituição de variáveis por termos booleanos que garante que os dois termos tomam o mesmo valor booleano. Os unificadores booleanos serão designados através de letras gregas.

23 23 Unificação Booleana Exemplo: Os termos t 1 =1+A e t 2 = A·B podem ser unificados com o unificador = {A/1, B/0} Com efeito, denotando por t (ou simplesmente t ) a aplicação da substituição ao termo t, temos t 1 = (1+A) {A/1, B/0}= 1 + 1 = 0 t 2 = (A·B) {A/1, B/0}= 1 · 0 = 0 o que garante a satisfação da restrição de igualdade t 1 = t 2.

24 24 Unificação Booleana Em geral, dados dois termos Booleanos, t 1 e t 2, pode haver mais do que um unificador mais geral. Exemplo: A unificação dos termos t 1 = 1 + A·B e t 2 = C + D pode ser obtida por qualquer um dos seguintes unificadores mais gerais 1 = { C / 1 + A·B + D} 2 = { D / 1 + A·B + C} 3 = { A / 1 + C + D, B / 1} 4 = { A / 1, B / 1 + C + D} Com efeito, t 1 1 = (1+A·B) {C/1+A·B+D} = 1+A·B t 2 1 = (C+D) {C/1+A·B+D}=(1+A·B+D)+D = 1+A·B e t 1 2 = (1+A·B) {D/1+A·B+C} = 1+A·B t 2 2 = (C+D) {D/1+A·B+C}= C+(1+A·B+C) = 1+A·B

25 25 Unificação Booleana Existem outros unificadores (menos gerais) que podem ser obtidos através de instâncias dos anteriores, isto é, da composição de unificadores mais gerais com outras substituições. Por exemplo, a substituição λ obtida pela composição de 1 com a substituição {A/0} λ= {C/1+A·B+D } o {A / 0} = {C/1+D, A/0} ainda é um unificador dos termos t 1 =1+A·B e t 2 =C+D t 1 λ = (1+A·B) {C/1+D, A/0} = 1+0·B = 1 t 2 λ = (C+D) {C/1+D, A/0} = (1+D+D) = 1

26 26 Algoritmo de Unificação Booleana Tendo em atenção que a restrição t 1 = t 2 é equivalente a t 1 +t 2 =0, a unificação dos termos t 1 e t 2 equivale a anular o termo t 1 +t 2. As condições em que um termo t se pode anular, podem ser analisadas através dos pontos seguintes. 1.O anulamento de um termo constante t é trivialmente verificável: 1.se t = 0 o termo já é nulo; 2.se t = 1 o termo não é anulável. 2.Dada a propriedade distributiva, um termo t, não constante, pode sempre ser reescrito na forma a·U+b (em que U é uma qualquer das variáveis que ocorrem em t ) pondo U em evidência.

27 27 Algoritmo de Unificação Booleana 3.Um termo t = a·U + b só se pode anular, se tivermos ou a = 1 ou b = 0 (na situação contrária, em que fosse a = 0 e b = 1, teríamos t = 1 0, independentemente do valor de U ). 4.Essa condição ( a = 1 ou b = 0 ) é garantida se e só se anular o termo (1 + a)·b. 5.Uma vez garantida esta condição, constata-se que –se a = 0 (e b = 0 ), então a variável U pode tomar um valor arbitrário (pois 0 = 0·U + 0 ) –se a = 1, então a variável U tem de tomar o valor b (pois neste caso temos 0 = 1·U + b )

28 28 Algoritmo de Unificação Booleana 6.A atribuição de valores a U nestes termos pode ser implementada com o recurso a uma nova variável booleana, (isto é, que não ocorra em t ). Chamando _U a essa variável a condição anterior é equivalente à substituição U = (1+a)·_U + b 7.Com efeito, se a = 0 (e b = 0 ) temos U = _U, ou seja U pode tomar um valor arbitrário, já que a variável _U, sendo uma variável nova, não está associada a quaisquer restrições; Se a = 1 temos U = (1+1)·_U + b, ou seja U = b, como pretendido.

29 29 Algoritmo de Unificação Booleana Estas considerações podem ser materializadas no predicado unif_bool, especificado abaixo. O predicado recebe os termos t 1 e t 2 a unificar, e sucede se o predicado anula suceder, retornando a substituição retornada por este predicado. predicado unif_bool(in: t 1, t 2 ; out: ); t t 1 + t 2 ; unif_bool anula(t, ); fim predicado. Passemos agora à implementação do predicado anula.

30 30 Algoritmo de Unificação Booleana predicado anula (in: t; out: ); caso t = 0: anula = Verdade, = {}; caso t = 1: anula = Falso; caso contrário: A·u + B t; s (1+A)·B; se anula(s,σ) então anula Verdade; {U/(1+A)·_U+B} o σ senão anula = Falso fim se fim caso fim predicado.

31 31 Algoritmo de Unificação Booleana {U/(1+A)·_U+B} o σ De notar que a substituição retornada pelo predicado anula é obtida pela composição das substituições {U/(1+A)·U+B} e σ obtida na chamada recursiva do predicado (se este suceder). Exemplo: Satisfazer a restrição X + X·Z = Y·Z + 1 Unifica X+X·Z e Y·Z+1 anulaX+X·Z+Y·Z+1 = (1+Z)·X+Y·Z+1 % A x ·X+B x anula (1+(1+Z))·(Y·Z+1) % (1+A x )·B x = Z·(Y·Z+1) = Z·Y+Z % A y ·X+B y anula (1+Z)·Z %(1+A y )·B y = 0

32 32 Algoritmo de Unificação Booleana Unifica X+X·Z e Y·Z+1 anulaX+X·Z+Y·Z+1 = (1+Z)·X+Y·Z+1 anula (1+(1+Z))·(Y·Z+1)=Z·Y+Z %(1+A x )·B x anula (1+Z)·Z = 0 %(1+A y )·B y σ z = {} σ y = {Y/(1+A y )·_Y+B y } o σ z = {Y/(1+Z) ·_Y+Z} o {} = {Y/(1+Z) ·_Y+Z} σ x = {X/(1+A x )·_Y+B x } o σ y = {X/(1+1+Z)·_X + Y·Z+1} o {Y/(1+Z)·_Y+Z} = {X/ Z·_X +Y·Z+1} o {Y/(1+Z)·_Y+Z} = {X/ Z·_X +((1+Z)·_Y+Z)·Z+1, Y/(1+Z)·_Y+Z} = {X/ Z·_X +Z+1, Y/(1+Z)·_Y+Z}

33 33 Restrições Booleanas Desta forma a restrição X+X·Z = Y·Z+1 é satisfazível, já que a unificação dos termos X+X·Z e Y·Z+1 sucede retornando o unificador booleano mais geral = {X/Z·_X +Z+1, Y/(1+Z)·_Y+Z} Podemos confirmar este resultado, verificando que (X+X·Z) = (Z·_X+Z+1)+(Z·_X+Z+1)·Z = (Z·_X+Z+1)+Z·_X = Z+1 e que (Y·Z+1) = ((1+Z)·_Y+Z)·Z+1) = Z+1

34 34 Restrições Booleanas = {X/Z·_X +Z+1, Y/(1+Z)·_Y+Z} Podemos pois concluir que a restrição X + X·Z = Y·Z + 1 pode ser satisfeita independentemente do valor da variável Z, dado que o unificador mais geral não a menciona) Numa análise mais pormenorizada –se Z=0 então X = 1 e Y =_Y (i.e. Y pode tomar qualquer valor) –se Z=1 então X =_X e Y = 1 (i.e. X pode tomar qualquer valor) O unificador tem pois como instâncias fechadas (ground), os unificadores {X/1, Y/0, Z/0}, {X/1, Y/1, Z/0}, {X/0, Y/1, Z/1}, {X/1, Y/1, Z/1},

35 35 Aplicações Um domínio de eleição para a utilização de restrições booleanas é o domínio dos circuitos digitais. Exemplo: 1.Modelar o circuito abaixo através de um conjunto de restrições booleanas 2.Verificar em que condições a saída toma o valor 1. C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A R 1 : C = 1 + A·B R 2 : D = 1 + A·C R 3 : E = 1 + B·C R 4 : F = 1 + D·E

36 36 Aplicações 1. Restrições que modelam o circuito R 1 : C = 1 + A·BR 2 : D = 1 + A·C R 3 : E = 1 + B·CR 4 : F = 1 + D·E Resolução das Restrições R 1 : Resolvendo R 1 obtemos a substituição 1 C = 1 + A·B 1 ={C / 1 + A·B} R 2 : Aplicando 1 temos R2: R2 1 :D = (1+A·C) {C/1+A·B} D = (1+A·(1+A·B)) D = 1 + A + A·B Resolvendo esta restrição obtemos a substituição 2 = {D / 1 + A + A·B}

37 37 Aplicações Compondo 2 com 1 obtemos 2 = 1 o 2 = {C/1+A·B} o {D/1+A+A·B} = {C/1+A·B, D/1+A+A·B} R 3 : Aplicando 2 temos R3: R3 2 : E = (1+B·C) {D/1+A+A·B, C/1+A·B} : E = 1+B·(1+A·B) Resolvendo R 3 obtemos a substituição 3 = {E/1+B+A·B} Compondo 3 com 2 obtemos 3 = 2 o 3 = {E/1+B+A·B} o {D/1+A+A·B} o {C/1+A·B} = {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B}

38 38 Aplicações R 4 : Aplicando 3 temos R 4 : R 4 3 : F = (1+D·E) {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B} : F = 1+(1+A+A·B)·(1+B+A·B) : F = 1+1+B+A·B+A+A·B+A·B+A·B+A·B+A·B : F = A + B Resolvendo R 4 obtemos a substituição 4 = {F/A+B} Combinando 4 com 3 obtemos 4 = 3 o 4 = {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B}o{F/A+B} = {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B, F/A+B} Interpretando 4 concluímos que o circuito com 4 portas nand implementa um ou-exclusivo, já que F / A + B.

39 39 Aplicações 2. Que entradas impõe a saída igual a 1 Para representar esta situação acrescenta-se a restrição R 5 : F = 1. R 5 : Aplicando 4 temos R 5:R 5 4 :(F = 1) {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B, F/A+B} : A+B = 1 Resolvendo R 5 obtem-se a substituição 5 = {A/1+B}. Compondo esta substituição 5 com 4 obtem-se 5 = 4 o 5 = {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B, F/A+B}o{A/1+B} = {E/1+B, D/B, C/1, F/1, A/1+B} De 5, e em particular do par A/1+B, conclui-se que para o circuito ter uma saída 1, as suas entradas devem ser complementares, i.e. ou A=0 e B=1 ou A=0 e B=1

40 40 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Uma vez carregado o SICStus Prolog o módulo de Restrições Booleanas, através da directiva :- use_module(library(clpb)). As restrições Booleanas podem ser verificadas através do predicado sat(E), em que a igualdade é representada por=:= e os operadores + e · através de # e *, respectivamente. Exemplos: 1.?- sat(A#B=:=F). sat(A=:=B#F)? % A restrição A+B=F é satisfazível, com a substituição A/B+F

41 41 Restrições Booleanas no SICStus Prolog 2.?- sat(A*B=:=1#C*D). sat(A=\=C*D#B)? % A restrição A·B=1+C·D é satisfazível, com substituição A/1+C·D+B 3. ?- sat(A#B=:=1#C*D), sat(C#D=:=B). sat(B=:=C#D), sat(A=\=C*D#C#D) ? % As restrições A+B=1+C·D e B=C+D são satisfeitas com a substituição {A/1+C·D+C+D, B/C+D} Nota: Atenção à notação das respostas. A=:= Exp corresponde a A / Exp A=\= Exp corresponde a A / 1+ Exp

42 42 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Um exemplo mais completo, relativo ao circuito anterior :- use_module(library(clpb)). nand_gate(X,Y,Z):- sat(X*Y =:= 1#Z). circuit(A,B,[C,D,E],F):- nand_gate(A,B,C), nand_gate(A,C,D), nand_gate(B,C,E), nand_gate(D,E,F). C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

43 43 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Alguma interacção com o sistema | ?- circuit(A,B,[C,D,E],1). C = 1, E = A, sat(B=\=A), sat(D=\=A) ? Comparando-se esta resposta com 5 anterior 5 = {E/1+B, D/B, C/1, F/1, A/1+B} constata-se que são ambas variantes do unificador mais geral. C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

44 44 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Outra interacção | ?- circuit(A,B,[C,D,E],F). sat(C=:=_A*F#F#_A), sat(A=\=_A*F#_B*F#F#_A), sat(B=\=_A*F#_B*F#_A), sat(D=\=_B*F), sat(E=\=_B*F#F) ? ; A comparação com 4 anterior é um pouco menos óbvia... 4 = {E/1+B+A·B, D/1+A+A·B, C/1+A·B, F/A+B} 1+A·B= 1+ (1+_A·F+_B·F+F+_A)· (1+_A·F+_B·F+_A) = 1+((1+_A·F+_B·F+_A)+F)·(1+_A·F+_B·F+_A) = 1+(1+_A·F+_B·F+_A)+(1+_A·F+_B·F+_A)·F = 1+ 1+_A·F+_B·F+_A + F+_A·F+_B·F+_A·F = F+_A+_A·F = C C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

45 45 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Padrões de Teste de Avarias (Stuck-at-0/1) num semi-somador Objectivo: Obter uma saída diferente entre –o circuito correcto e –o circuito com falhas Definir um predicado tp/2 que dado um conjunto de falhas F indique as entradas que detectam essas falhas tp(F, [I1, I2]) B G1 G2G2 A C S

46 46 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Primeiro, convem definir o comportamento de cada gate (sem falhas) por intermédio das correspondentes restrições booleanas. Uma gate sem falhas é representada por 3 argumentos –1. Tipo da gate Número de identificação da gate no circuito –2. Lista de –3. Saída gate(or, [I1,I2],Z):- sat(I1+I2 =:= Z). gate(nor, [I1,I2],Z):- sat(I1+I2 =\= Z). gate(xor, [I1,I2],Z):- sat(I1#I2 =:= Z). gate(and, [I1,I2],Z):- sat(I1*I2 =:= Z). gate(nand,[I1,I2],Z):- sat(I1*I2 =\= Z). gate(not,[I1],Z):- sat(I1 =\= Z).

47 47 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Em segundo lugar, é necessário especificar o comportamento de uma gate, incluindo o caso em que ela esteja avariada. Uma gate é representada por 5 argumentos –1. Número de identificação da gate no circuito –2. Lista de falhas no circuito. Cada falha é representada por um par N/B em que N é o identificador da gate e B o tipo de falha (stuck-at-0 ou stuck-at-1). –3. Tipo da gate –4. Lista de entradas da gate –5. Saída da gate gate(N,F,_,_,0):- % a saída é 0, se member(N/0, F), !. % a gate está stuck-at-0 gate(N,F,_,_,1):- % a saída é 1, se member(N/1, F), !. % a gate está stuck-at-1 gate(_,_,T,I,S):- % caso contrário, a gate gate(T,I,S). % tem comportamento normal

48 48 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Em terceiro lugar, há que definir o que é um circuito Semi-somador em termos das suas componentes, que podem naturalmente estar avariadas. semi_somador(F, [I1,I2],[S,C]):- % F é o conjunto gate(1, F, and, [I1,I2], C), % de falhas gate(2, F, xor, [I1,I2], S). O predicado member/2 é o habitual. member(H,[H|_]). member(H,[_|T]):- member(H,T). I2 G1 G2G2 I1 C S

49 49 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Finalmente, há que comparar um circuito com falhas F e um circuito sem falhas, de forma a que uma das saídas, pelo menos, seja diferente. tp(F, [I1, I2]):- semi_somador([],[I1, I2], [S1,C1]), semi_somador(F, [I1, I2], [S2,C2]), gate(xor, [S1, S2], S), gate(xor, [C1, C2], C), gate(or,[S,C],1). 1 [] F I1 I2 S2 C2 S1 C1 S C

50 50 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Alguma interacção com o sistema | ?- tp([1/0],[I1,I2]). I1 = 1,I2 = 1 ? ;no % A avaria G1 (and) stuck-at-0, é detectada se ambas as entradas forem 1 | ?- tp([1/1],[I1,I2]). sat(I1=:=_A*I2#_A) ? ;no % A avaria G1 (and) stuck-at-1, é detectada se uma das entradas for 0.. (I2 = 1 I1 = 0). | ?- tp([2/0],[I1,I2]). sat(I1=\=I2) ? ;no % A avaria G2 (xor) stuck-at-0, é detectada se as entradas forem diferentes. | ?- tp([2/1],[I1,I2]). I2 = I1 ? ;no % A avaria G2 (xor) stuck-at-1, é detectada se as entradas forem iguais. I2 G1 G2G2 I1 C S

51 51 Restrições Booleanas no SICStus Prolog N Rainhas Para modelar o problemas das rainhas há que garantir que –Em todas as linhas há exactamente uma rainha Em todas as linhas há uma ou mais rainhas Em todas as linhas há uma ou menos rainhas –Em todas as colunas há exactamente uma rainha Em todas as colunas há uma ou mais rainhas Em todas as colunas há uma ou menos rainhas –Em todas as diagonais há uma ou menos rainhas

52 52 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Eis uma possível solução rainhas_3([Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9]):- um_ou_mais( [Q1, Q2, Q3]), % linha 1 um_ou_menos([Q1, Q2, Q3]),... um_ou_mais( [Q1, Q4, Q7]), % coluna 1 um_ou_menos([Q1, Q4, Q7]),... um_ou_menos([Q2,Q6]), um_ou_menos([Q1, Q5, Q9]), % diagonais \ um_ou_menos([Q4,Q8]), um_ou_menos([Q2,Q4]), um_ou_menos([Q3, Q5, Q7]), % diagonais / um_ou_menos([Q6,Q8]).

53 53 Restrições Booleanas no SICStus Prolog % Uma ou mais rainhas um_ou_mais(L):- % L = [A,B,C,...,Z] or_exp(L, Exp), % Exp = A+B+C+...+Z sat(Exp =:= 1). % A+B+C+...+Z = 1 or_exp([H], H). or_exp([H|T], H + T_exp):- or_exp(T, T_exp). % Uma ou menos rainhas um_ou_menos([_]). um_ou_menos([H1,H2|T]):- sat(H1 * H2 =:= 0), % A1*A2 = 0 um_ou_menos([H1|T]), % idem para outros pares com A1 um_ou_menos([H2|T]). % idem para outros pares sem A1