Estudo da reta.

Apresentação em tema: "Estudo da reta."— Transcrição da apresentação:

1 Estudo da reta

2 Plano cartesiano eixo das ordenadas Origem eixo das abscissas y
2º quadrante 1º quadrante O (0, 0) x Origem eixo das abscissas 3º quadrante 4º quadrante

3 Coordenadas no plano P(3, 4) Em geral: P(x, y) 3 é a abscissa de P;
4 é a ordenada de P; 3 e 4 são as coordenadas de P; O 3 x Em geral: P(x, y)

4 Sinais no plano y + + x = 0 y = 0 + – x – + O( 0, 0) – –

5 Bissetrizes no plano y 2ª bissetriz 1ª bissetriz y = x y = –x x

6 Equação da reta

7 Equação geral da reta A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles. Retas paralelas aos eixos; Retas não-paralelas aos eixos;

8 Retas paralelas aos eixos
A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy. y r Equação da reta r: x = 4 2 s Equação da reta s: y = 2 O 4 x

9 Retas paralelas ao eixo y
A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano cartesiano xOy. y r s t Equação de r: x = –2 Equação de s: x = 1 Equação de t: x = 3 –2 O 1 3 x Geral: retas ∕∕ eixo y: x = k k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.

10 Retas paralelas ao eixo x
A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano cartesiano xOy. y Equação de w: y = 3 3 w Equação de u: y = 2 2 u Equação de p: y = –1 O x p Geral: retas ∕∕ eixo x: –1 y = h h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

11 Retas não-paralelas aos eixos
A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3). P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados r y P(x, y) B 3 x y 1 2 3 = 0 A 1 O 2 3 x x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0 ⇒ y – 2x + 3 = 0

12 Equação geral da reta Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0. A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes. 2x – y – 3 = 0 4x – 2y – 6 = 0 6x – 3y – 9 = 0 ... e assim por diante. Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.

13 Exemplos Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral 3x + 2y – 5 = 0. x = 1 ⇒ y – 5 = 0 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1 x = 3 ⇒ y – 5 = 0 ⇒ 2y = –4 ⇒ y = –2 y r 1 3 O 1 x –2

14 Exemplos Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = 0. Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação. M(2, –1) ⇒ (–1) – 9 = 0 ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0 N(3, 5) ⇒ – 9 = 0 ⇒ – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0 Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

15 Inclinação de uma reta

16 Inclinação de uma reta Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m. 6 m  40 m O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa. 6 m Inclinação = tg α = = 0,15 = 15 % 40 m

17 Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas.
Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0). α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0

18 Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas.
O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido). α = 90o ⇓ Inclinação não se define.

19 Inclinação de uma reta Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy. y r Q yQ Inclinação = tg α yQ– yP yQ – yP a = tg α =  xQ – xP P yP xQ– xP  x y a = M O xP xQ x

20 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y √3 a = tg 30º = 3 M 30º O x

21 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 45º = 1 M 45º O x

22 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 60º = √3 60º M O x

23 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 120º = – tg 60º = –√3 120º O M x

24 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 135º = – tg 45º = – 1 135º O M x

25 Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y –√3 a = tg 150º = – tg 30º = 3 150º O M x

26 Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. a) M(–2, 3) e N(1, 5) yN – yM a = tg α = y xN – xM 5 – 3 5 N a = 1 – (–2) M 2 3 a = 3 α a > 0 e α é agudo (α < 90º) –2 O 1 x

27 Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. b) M(–2, 3) e N(3, –1) yN – yM a = tg α = xN – xM y –1 – 3 a = M 3 – (–2) 3 – 4 α a = O 3 5 –2 x –1 N a < 0 e α é obtuso (90º < α < 180º)

28 Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. c) M(–1, 3) e N(2, 3) yN – yM a = tg α = xN – xM y 3 – 3 a = M 3 N 1 – (–1) a = 0 O –1 3 x a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)

29 Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. d) M(2, –1) e N(2, 3) yN – yM a = tg α = xN – xM y 3 – (–1) a = N 2 – 2 3 a = não é definida α O 2 x ⇓ –1 M α = 90º (reto)

30 Inclinação de uma reta - resumo
O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º. Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º). α = 0º ⇔ a = 0. 0º < α < 90º ⇔ a > 0. α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida. 90º < α < 180º ⇔ a < 0.

31 Exemplos Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
y t r s 45º 45º 120º O x ar = tg 45º = 1 as = tg 45º = 1 at = tg 120º = – tg 60º = – √3

32 Equação reduzida da reta

33 Equação reduzida da reta
Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º. Vamos obter a equação da reta r. y yM – yA y – 3 a = ⇒ –1 = xM – xA x – 2 A 3 y – 3 = –1(x – 2) M(x, y) 135º y – 3 = –1x + 2 y = –1x + 5 O 2 x y = –x + 5 a = tg 135º = –1.

34 Equação reduzida da reta – Caso Geral
Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura. y yM – yA y – yP M (x, y) a = ⇒ a = P xM – xA x – xP yP y – yP = a(x – xP) α O xP x ⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP) ⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta

35 Equação reduzida da reta
Na equação reduzida y = ax + b, temos: x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y. O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta. O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

36 Exemplos Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy. 2x – y + 4 = 0 ⇒ –y = –2x – 4 ⇒ y = 2x + 4 O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4. a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º. b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4). Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0. y = 0 ⇒ 2x – = 0 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2 ⇒ (–2, 0)

37 Exemplos Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
y = 2x + 4 y r 4 –2 x O

38 Exemplos O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta. y = ax + b y s A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2. 2 α = 180º – 45º = 135º a = tg 135º = –1. α 45º x O y = – x + 2 ⇒ x + y – 2 = 0

39 Exemplos Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3). Primeiro vamos calcular a inclinação da reta. y yA – yB 6 –(–3) 9 a = = = = ⇒ a = –3 x xA – xB –2 – 1 –3 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2) ⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x