Sinais e Sistemas – Capítulo 3

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1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin Aula 14

2 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
A superposição de senóides complexas envolve um continuum de frequências que variam de -∞ a ∞, de modo que o que implica em Aula 14

3 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
x(t) e X(jω) são um par de FT As duas últimas equações são a FT inversa e a FT, respectivamente. Aula 14

4 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Condições de convergência da FT e da FT inversa. Definindo onde Pode-se mostrar que o MSE entre x(t) e é se x(t) for quadrado integrável, isto é Aula 14

5 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
MSE=0 não implica convergência ponto a ponto, e sim que há energia nula na diferença dos sinais. A convergência ponto a ponto é garantida em todo t, exceto onde há descontinuidade, se x(t) satisfizer as seguintes condições de Dirichlet para sinais não periódicos: x(t) é absolutamente somável x(t) tem um número finito de máximos, mínimos e descontinuidades locais em qualquer intervalo finito O tamanho de cada descontinuidade é finito Aula 14

6 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Quase todos os sinais físicos encontrados na prática satisfazem a segunda e terceira condições de Dirichlet. Entretanto, sinais comuns, como é o caso do degrau unitário, não são integráveis absolutamente ou ao quadrado. Em alguns casos, podemos definir um par que transformadas que satisfaz as propriedades da FT por meio do uso de impulsos, permitindo o uso desta poderosa ferramenta. Aula 14

7 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Exemplo: Encontre a FT de x(t)=e-atu(t). Solução: Observe que a FT não converge para a≤0, uma vez que x(t) não é absolutamente integrável, isto é Para a>0, temos Aula 14

8 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Logo, Aula 14

9 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Exemplo: Encontre a FT de Solução: x(t) é absolutamente integrável desde que T<∞. Para ω≠0, temos Para ω=0, usando L’Hopital, temos que Aula 14

10 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Então, podemos escrever para todos os ω que com o entendimento de que o valor em ω=0 é obtido avaliando-se um limite. Neste caso, Aula 14

11 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Podemos, ainda, escrever X(jω) usando a função sinc, isto é Observe que a largura de x(t) está inversamente relacionada com a largura de X(jω). Aula 14

12 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Exemplo: Encontre a FT inversa de Solução: Para t≠0, temos Para t=0, a integral se reduz a W/π, uma vez que Aula 14

13 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Escrevemos para todos t Com o entendimento de que o valor em t=0 é obtido como um limite. Observe que a largura de X(jω) está inversamente relacionada com a largura de x(t). Aula 14

14 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Exemplo: Encontre a FT inversa de Solução: Observe que a função impulso não satisfaz as condições de Dirichlet. Tentemos, apesar disto, utilizar a FT, como segue Da propriedade de peneiramento da função impulso, temos que Ou seja, o impulso contém contribuições unitárias das senóides complexas de todas as frequências de ω=-∞ a ω=∞. Aula 14

15 Sinais Não Periódicos de Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier (FT)
Exemplo: Encontre a FT inversa de Solução: Mais uma vez podemos esperar problemas de convergência, uma vez que X(jω) possui uma descontinuidade infinita na origem. Logo, é um par de FT. Portanto, o conteúdo de frequência de um sinal DC está inteiramente concentrado em ω=0. Aula 14