Diagramas de Nyquist e Nichols

Diagramas de Nyquist e Nichols
Considere o sistema dado por: É possível determinar um valor de K para o qual o sistema é estável, sem o conhecimento exato de G(s)?  Sim, se for possível medir a resposta no domínio da freqüência do sistema de malha aberta. Em sistemas lineares: FONTE:

Diagramas de Nyquist Magnitude M(w) de malha fechada e fase j:
Dentre as representações no domínio da freqüência, há os gráficos de Bode e o diagrama de Nyquist:

Diagramas de Nyquist – Caso 1
Como no estudo de projeto de compensadores no domínio da freqüência, estamos interessados no estudo da função de transferência de malha aberta G(s)H(s) para tirar conclusões a respeito do sistema em malha fechada:  Caso 1: 

 Exemplo Matlab: f2=tf(1,[1 2]);%GH=1/(s+2) figure;nyquist(f2);

 Exemplo Matlab: f3=tf([1 2],1); %GH=s+2 figure;nyquist(f2);

 (Eixo imaginário negativo) Exemplo Matlab: f4=tf(1,[1 0]); figure;nyquist(f4);

 Exemplo Matlab: f5=tf(1,[ ]); %n=3 figure;nyquist(f5);

 Caso 5-b:  n = – 1  G(s)H(s) = s Exemplo Matlab: f5b=tf([1 0],1); %n=-1 figure;nyquist(f5b); Eixo imaginário positivo



 Exemplo Matlab: wn2=2; wn=sqrt(2); zeta = 0.5; nf6=wn2; df6=[1 2*zeta*wn wn2]; f6=tf(nf6,df6); figure;nyquist(f6);

Exemplo Matlab: wn2=2; wn=sqrt(2); zeta1 = 0.1; zeta2 = 0.3; zeta3 = 0.5; zeta4 = 0.7; zeta5 = 0.9; zeta6 = 1.0; zeta7 = 1.2; nf6b=wn2; df61=[1 2*zeta1*wn wn2]; df62=[1 2*zeta2*wn wn2]; df63=[1 2*zeta3*wn wn2]; df64=[1 2*zeta4*wn wn2]; df65=[1 2*zeta5*wn wn2]; df66=[1 2*zeta6*wn wn2]; df67=[1 2*zeta7*wn wn2]; f61=tf(nf6b,df61);f62=tf(nf6b,df62);f63=tf(nf6b,df63);f64=tf(nf6b,df64);f65=tf(nf6b,df65);f66=tf(nf6b,df66);f67=tf(nf6b,df67); figure;nyquist(f61,f62,f63,f64,f65,f66,f67);

Sistemas de segunda ordem - revisão
Função de transferência senoidal (de malha fechada): FONTE:

Diagramas de Bode de malha fechada

Diagramas de Bode de malha fechada
Em que freqüência ocorre o pico de ressonância, no diagrama de Bode de malha fechada?  Naquela em que o denominador é mínimo.

 Exemplo Matlab: wn2=2; wn=sqrt(2); zeta1 =0.1; zeta2 =0.3; zeta3 =0.5; zeta4 =0.7; zeta5 =0.9; zeta6 =1.0; zeta7 = 1.2; nf71=[1/wn2 2*zeta1/wn 1]; nf72=[1/wn2 2*zeta2/wn 1]; nf73=[1/wn2 2*zeta3/wn 1]; nf74=[1/wn2 2*zeta4/wn 1]; nf75=[1/wn2 2*zeta5/wn 1]; nf76=[1/wn2 2*zeta6/wn 1]; nf77=[1/wn2 2*zeta7/wn 1];

Exemplo Matlab (continuação): f71=tf(nf71,1);f72=tf(nf72,1); f73=tf(nf73,1);f74=tf(nf74,1); f75=tf(nf75,1);f76=tf(nf76,1); f77=tf(nf77,1); figure;nyquist(f71,f72,f73,f74,f75,f76,f77);

Diagramas de Nyquist – Exemplo 1
Exemplo 1: Trace o diagrama de Nyquist da função: Sistema do tipo 0

Exemplo 1: No Matlab, para K = 20: Exemplo Matlab: K=20; numex1=K; denex1=[2 1]; fex1=tf(numex1,denex1); figure;nyquist(fex1);

Exemplo 2: Trace o diagrama de Nyquist para: Sistema do tipo 1

Exemplo 2: (continuação) Sistema do tipo 1

Exemplo 2: (continuação) Exemplo Matlab: numex2=10; denex2=conv([1 0],[4 1]); fex2=tf(numex2,denex2); figure;nyquist(fex2);

Exemplo 3: Trace o diagrama de Nyquist para: C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. Sistema do tipo 1

Exemplo 3: (continuação) C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Diagramas de Nyquist – Mapeamento F(s)
Mapeamento conforme (Teorema de Cauchy) e estabilidade: Para analisar a estabilidade, deve-ser responder à pergunta: o sistema em malha fechada possui pólos no SPD do plano-s ? Em outras palavras, existem soluções de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD? Problema a ser resolvido: determinar o número de soluções (ou zeros) de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD, usando apenas as informações presentes em G(j), para –  <  < . Para tanto, precisamos recapitular o conceito de mapeamento conforme da análise de números complexos. A variável complexa s define um plano (que temos chamado de plano complexo s), onde s = s + jw. Vamos definir um outro plano complexo, g = a + jb. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Diagramas de Nyquist - Mapeamento
Mapeamento conforme : Estamos interessados em mapear os contornos no plano-s por uma função F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (i.e., a equação característica). Um mapeamento de contornos é um contorno ou uma trajetória em um plano mapeado em outro plano por uma relação F(s). Um mapeamento que preserva o tamanho e a orientação dos ângulos (em um ponto z0) entre duas curvas que se interceptam em um dado ponto z0 é dito conforme em z0. Um mapeamento que é conforme em qualquer ponto do domínio D é dito conforme em D. Em um mapeamento conforme, cada par de linhas ortogonais em um domínio é transformado em um par de curvas ortogonais no outro domínio. plano-s plano-F(s) F(s) C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Mapeamento conforme G(s)
FONTE: - Lectures 27 a 29. Seja G(s) qualquer função racional em s: Especificando-se g = G(s), então G torna-se um mapeamento do plano-s para o plano g. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Se G(s), a função de mapeamento, é contínua, então pequenas mudanças em s levam a pequenas mudanças em g. Assim, linhas/curvas contínuas no plano s serão mapeadas em trajetórias/curvas contínuas no plano g. Suponha, por exemplo, que G(s) = s + a. Trace um círculo (no sentido horário) em torno do zero s = – a.  Qual será a imagem deste círculo no plano g? O círculo será deslocado para a direita de a unidades, de modo a envolver a origem (também no sentido horário). Assim, se o contorno envolve um zero em s = – 1, sua imagem irá envolver a origem (na mesma direção). C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

FONTE: - Lectures 27 a 29. E o que ocorre se G(s) = 1/ (s + a) ? Trace um círculo (no sentido horário) de raio r em torno do pólo s = – a.  Qual será a imagem deste círculo no plano g? C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.  Assim, ao envolver um pólo na direção horária, a imagem envolve a origem, mas na direção contrária (anti-horário).

FONTE: Considere agora G(s) = 2s + 1 e o mapeamento de um quadrado unitário do plano s para o plano g. plano-s: A = 1 + j1  plano-g: G(s) = 2sA + 1 = 3 + j2  Aplano-g = 3 + j2. plano-s: De A = 1 + j2 para B = 1 – j1  G(s) = 2sA+1 = 3+j2 para G(s) = 2sB+1 = 3– j2. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

plano G(s) plano-s j b a G(s) C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. A, B, C, Dplano-s  A, B, C, Dplano-g Observe que um contorno fechado no plano-s resulta em um contorno fechado no plano-g. E se G(s) = s/(s+2), como fica o mapeamento do mesmo quadrado unitário?

FONTE: plano G(s) plano-s j b a A, B, C, Dplano-s  A, B, C, Dplano-g Observe que o contorno no plano-s envolve a origem, um zero de G(s)  o contorno resultante no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) uma vez no sentido horário. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. Para obter os valores de A,B,C,D no plano G(s), consulte o link relativo ao capítulo 9 do livro do Dorf:

FONTE: plano G(s) plano-s j b a C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. G(s) = s/(s + 1/2) a, b, c, d, e, f, g, h plano-s  a, b, c, d, e, f, g, h plano-g O contorno no plano-s envolve um zero e um pólo de G(s)  O contorno resultante no plano-G(s) não envolve a origem.

FONTE: Considere uma função complexa G C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

FONTE: C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. A imagem do caminho envolvendo o zero envolve a origem uma vez no sentido horário. A imagem do caminho envolvendo o pólo envolve a origem uma vez no sentido anti-horário. A imagem do caminho que não envolve nem pólos nem zeros não envolve a origem.

FONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt
Teorema de Cauchy FONTE: Se um contorno TS no plano-s envolve Z zeros e P pólos de G(s) e não passa por nenhum pólo ou zero de G(s) e se o trajeto for na direção horária ao longo do contorno, o correspondente contorno TG no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) N = Z – P vezes na direção horária. Assim, nos dois exemplos anteriores (G(s) = 2s + 1 e G(s) = s/(s+2) ) a origem do plano-G(s) foi envolvida N = Z – P = 1 vez no sentido horário. Por outro lado, no exemplo G(s) = s/(s + 1/2) , a origem do plano-G(s) não foi envolvida, uma vez que N = Z – P = 0. Para melhor entender o teorema, considere G(s) em termos dos ângulos devidos a cada pólo e zero à medida que o contorno TS é percorrido na direção horária. Considere G(s)=(s+z1) (s+z2)/ [(s+p1) (s+p2)]  |G(s)|=|s+z1| |s+z2|/ [|s+p1| |s+p2|] e G(s) = (s+z1) + (s+z2) – (s+p1) – (s+p2) C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Teorema de Cauchy FONTE: Considerando os vetores para um contorno específico, pode-se determinar os ângulos à medida que s percorre o contorno. A contribuição líquida dos ângulos varia à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o. plano G(s) plano-s j b a contorno TG contorno T S C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. fF = fz1+ fz2– fp1 – fp2

Teorema de Cauchy FONTE: plano G(s) planos j b a contorno TG contorno T S fF = fz1+ fz2– fp1 – fp2 A variação angular líquida para fp1, fp2 e fz2 , à medida que s percorre o contorno TS completo de 360o, é nula. No entanto, o ângulo fz1 varia 360o na direção horária à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o. Assim, à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o no sentido horário, a variação líquida de fF é de +360o. (isto porque um zero de G(s) é envolvido por TS ). C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Teorema de Cauchy FONTE: DORF, capítulo 9. Se Z zeros forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida dos ângulos seria igual a 2pZ, em radianos. Seguindo o raciocínio, se Z zeros e P pólos forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida do ângulo fF será igual a 2p(Z – P), em radianos. Assim, o número de envolvimentos da origem pelo contorno TG no plano G(s) é dado por: C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Teorema de Cauchy N = Z – P = 3 – 1 = 2 FONTE: DORF, capítulo 9.
C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30. N = Z – P = 3 – 1 = 2

Teorema de Nyquist FONTE: Para a estabilidade, todas as raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 devem estar no SPE do plano-s. Para tanto, escolhe-se no plano-s um contorno que envolve todo o SPD do plano-s (Contorno de Nyquist) e determina-se se algum zero de F(s) encontra-se envolvido pelo contorno usando o Teorema de Cauchy.  Isto é, plota-se um contorno no plano-F(s) correspondendo ao contorno especificado no plano-s e observa-se se há envolvimento da origem por este contorno em F(s). O contorno de Nyquist passa pelo eixo jw, de – j a +j. Esta parte do contorno fornece F(jw). O contorno é completado adicionando-se uma trajetória semi-circular de raio r, onde r  . C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Contorno de Nyquist O critério de Nyquist basea-se nas raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) e no número N de envolvimentos no sentido horário da origem no plano-F(s). TF(s): Z (número de zeros envolvidos pelo contorno no plano-F(s)) = N + P. Assim, para mapear a imagem de 1 + G(s)H(s), basta transladar o contorno de G(s)H(s) para a direita de 1 unidade (e então contar o número de envolvimentos da origem). Alternativamente, podemos reescrever esta equação como: F*(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) e contar o número de envolvimentos na direção horária do ponto – 1. Diagrama polar de G(s)H(s) = Diagrama de Nyquist para G(s)H(s). C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Critério de estabilidade de Nyquist
FONTE: Critério de Estabilidade de Nyquist: Z = N + P, onde: Z é o número de pólos de malha fechada do sistema (= zeros de 1 + G(s)H(s) ) no SPD; N é o número de envolvimentos do ponto –1+j0 no sentido horário; P é o número de pólos de G(s)H(s) no SPD do plano-s. Pólos de G(s)H(s) = Pólos de 1+G(s)H(s) ! Z ( 0) indica o número de pólos de malha fechada instáveis (raízes ou zeros da equação característica 1 + G(s)H(s) ). P ( 0) indica o número de pólos de malha aberta instáveis (determinado pelos pólos de G(s)H(s) = pólos de 1 + G(s)H(s) ). C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Critério de estabilidade de Nyquist
FONTE: N indica o número de envolvimentos no sentido horário da origem pelo contorno TF no plano-F(s) (ou o número de envolvimentos no sentido horário do ponto –1+j0 pelo contorno TG no plano-G(s)H(s) ). Se N < 0: indica o número de envolvimentos no sentido anti-horário. Se P > 0: há pelo menos um pólo de malha aberta instável, e o sistema será estável  N for negativo com magnitude = P. Se P = 0: não há pólos de malha aberta instáveis. O número Z de raízes instáveis do sistema é igual a N. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Diagramas de Nyquist – Mapeamento
FONTE: - Lectures 27 a 29. Contornos infinitos Considere o contorno da figura ao lado no plano-s. Seja R o raio da circunferência maior, R  , e  o raio da circunferência menor (em torno do pólo),   0. g = G(s) = 1/(s + a) Vamos começar em s0 = – a + j  g = 1/(s0 + a) = – j/. Assim:   0  g  – j . Movendo-se ao longo da linha entre s0 e s1 : - Linha entre s0 = – a + j e s1 = – a + jR  g move-se de – j  a – j/R, onde –j/R 0 à medida que R   C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

Movendo-se em torno do pequeno círculo: s4  s5  s0 : | s | = e em torno do pólo em s = – a .  g0  g5  g4 : | g | = 1/e   em torno da origem; g : +90o  180o  – 90o Movendo-se em torno do contorno maior: s1  s2  s3 : | s | = R.  g1  g2  g3 : | g | = 1/R  0 em torno da origem; g : – 90o  0o  + 90o Observe que a origem está envolvida na direção anti-horário, como no caso anterior do envolvimento de um pólo. C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

C:\Meus documentos\UnB\disciplinas \links\curso-AME455-ControlSystemDesign-Spring2004\L17.pdf ; L18.pdf ; e vide ENEL 441, Lectures 27 a 30.

FONTE: - Lectures 27 a 29. O resultado principal que queremos extrair deste mapeamento é o número de vezes em que a origem do plano F(s) é envolvida. Suponha, por exemplo, que a função de transferência é dada por: Considere um contorno que envolve o zero (s = – 1) e os dois pólos (s = – 1  j ). Acompanhe o que ocorre com o argumento de g = G(s) à medida que s se move em torno do contorno circular no sentido horário.

FONTE: - Lectures 27 a 29. Se s traçar um círculo no sentido horário de raio suficientemente grande, arg(s+1) : 0o  – 180o  – 360o. De modo similar, os argumentos devidos aos dois pólos serão decrescidos de 360o, à medida que o círculo no sentido horário for traçado. No entanto, como arg(g) = arg(s+1) – arg(pólos) = –360o – (–360o –360o) = + 360o  arg(g) irá aumentar em 360o à medida que o círculo for traçado.

FONTE: - Lectures 27 a 29. Assim, ao percorrermos um percurso fechado no sentido horário, sua imagem irá envolver a origem N vezes na direção horária, onde: N = Z – P P : número de pólos no interior do contorno; Z : número de zeros no interior do contorno. Contorno infinito  contorno infinito envolvendo o semi-plano direito.

Diagramas de Nyquist – Estabilidade
FONTE: - Lectures 27 a 29. Exemplo 1: Analise a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist. Diagrama de Nyquist:

FONTE: - Lectures 27 a 29. Exemplo 1: (continuação – análise da a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist). Diagrama de Nyquist: Exemplo Matlab: numex1=1; denex1=[1 2]; fex1=tf(numex1,denex1); figure;nyquist(fex1);

O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist. Z = N + P = = 0. K G(s) : estável para qualquer valor de K (root locus) K G(s) : modifica a magnitude de G(s), mas não sua fase  um aumento de K aumenta o tamanho do círculo do diagrama de Nyquist, mas este continuará passando por 0 + j0 (quando w ) Portanto, o ponto –1+j0 nunca será envolvido, e o sistema é estável K.

FONTE: Ogata, exemplo 8.14, 4a edição. Exemplo 2: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema.

Exemplo 2: (continuação) Exemplo Matlab: K=10; T1=2; T2=5; numex2=K; denex2=conv([T1 1],[T2 1]); fex2=tf(numex2,denex2); figure;nyquist(fex2); O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0). G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0). Z = N + P = = 0.  Este sistema é estável para quaisquer valores positivos de K, T1 e T2 .

FONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição. Exemplo 3: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema para dois casos: (1) o ganho K é pequeno; (2) o ganho K é grande.

FONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição. Exemplo Matlab: (K pequeno) K=0.1; T1=2; T2=5; numex3=K; denex3=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3=tf(numex3,denex3); figure;nyquist(fex3); O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0). G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0). Z = N + P = = 0  sistema estável para pequenos valores de K.

FONTE: Ogata, exemplo 8.15, 4a edição. Exemplo Matlab: (K grande) K=100; T1=2; T2=5; numex3d=K; denex3d=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3d=tf(numex3d,denex3d); figure;nyquist(fex3d); O ponto – 1 + j0 é envolvido 2 vezes no sentido horário pelo diagrama de Nyquist (N = 2). G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0).  Z = N + P = = 2.  Este sistema possui 2 pólos de malha fechada no SPD do plano-s, e o sistema é instável para valores grandes de K.  figure;nyquist1b(numex3d,denex3d);

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