Lugar Geométrico das Raízes

Apresentação em tema: "Lugar Geométrico das Raízes"— Transcrição da apresentação:

1 Lugar Geométrico das Raízes
Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado

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Exemplo: Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta não há zeros de malha aberta; pólos de malha aberta: Passo 2: Determinar o LGR no eixo real Passo 3: Zeros no infinito  3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas

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Assíntotas: ponto de partida: ângulos: Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito. Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real negativo (  );

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Os outros dois ramos partem dos pólos complexo conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito  Mas de que modo?

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Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta. Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma distância e > 0) do pólo em s = – 1 + j. Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo q em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo?

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Estes ângulos serão constantes, independentes de q, somente se a distância e entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena.

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Condição angular: q =  45 Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de  45 Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados  ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é .

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Uma questão permanece: como os pólos de malha fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K  ) ? Considere a reta a  45 a partir do pólo em s = – 1 + j. Se nos movermos ao longo desta linha: As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar. No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir. Portanto, a fase será menos negativa do que – 180 ao longo desta linha.

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Assim, como q deve variar para que a condição de ângulo continue sendo satisfeita?

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Próximas considerações: Em que ponto o LR corta o eixo imaginário? Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se? Para isto, considere o sistema dado por: LGR? Pólos e zeros de malha aberta; Porção do eixo real pertencente ao LGR; Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

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Próximas considerações: Em que ponto o LR corta o eixo imaginário? Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se? Para isto, considere o sistema dado por: LGR? Pólos e zeros de malha aberta; Porção do eixo real pertencente ao LGR; Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

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Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado Solução Pólos e zeros de malha aberta; Porção do eixo real pertencente ao LGR; Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

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Nenhum zero de malha aberta; Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; Zeros no infinito: n – m = 3  Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ; E nos pólos em s = 0 e s = – 1?

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Pólos em s = 0 e s = – 1  Um ramo parte de 0 e outro de – 1  em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos. Como determinar este ponto em que os ramos se separam?

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Determinação do ponto de quebra: Até agora: ao variar K de 0 a , como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam? Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K varia? Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não há LR à direita de s = 0)  o valor de K aumenta. Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta. Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.

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Determinação do ponto de quebra (continuação): Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo para K. Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por: Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude.

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IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real. Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos. Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros. Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.

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Voltando ao exemplo: Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-se ter: Pode-se definir K(s) como: equação característica do sistema

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Como podemos saber qual é o valor de s correspon-dente ao ponto de quebra? Somente s1 pertence ao LGR!!! Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K:

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Portanto, o LGR para o sistema é da forma: O que o LGR nos diz a respeito do sistema?

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Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada degrau unitário? Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau. Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido? Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais  2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jw: são portanto pólos dominantes.  Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido. Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?

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Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo imaginário: Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz. para o sistema ser estável  K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.

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Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada para este valor de K: O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = jw e: Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:

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Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de 2 rd/s. Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em w = 2 .

25 Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com:

26 2) Eixo real  LGR: s  – 2 e – 1  s  0.
Solução 1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s.  zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1. 2) Eixo real  LGR: s  – 2 e – 1  s  0. 3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero  1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. q = 180(2k+1)/1 = 180. 4) Pontos de quebra:

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4) Pontos de quebra (continuação): Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes  Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real.

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