Semântica de uma fórmula da lógica da 1a ordem via modelo de Herbrand

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1 Semântica de uma fórmula da lógica da 1a ordem via modelo de Herbrand
Notação: const(F), func(F), pred(F), var(F) conjuntos de símbolos de constantes, funções, predicados e variáveis (respectivamente) de uma fórmula F da lógica da 1a ordem Universo de Herbrand de F: Uh(F) = const(F)  {f(...,c,...) | f  func(F)  c  const(F)}. Base de Herband de F: Bh(F) = Uh(F)  {p(…,g,…) | p  pred(F)  g  Uh(F)}. Modelo de Herbrand de F: Mh(F) = {q  Bh(F) | F |= q}. Modelo de Herbrand mínimo de F: mh é mínimo sse:  mi Mh(F) mi  mh Menor modelo mínimo de Herbrand de F: mm é o menor modelo mínimo sse: mi mi Mh(F)  mm  mi Conjunto de proposicionalizações de F: ground(F) = {F |  substituição de var(F) por Uh(F)}

2 Jacques Robin CIn-UFPE
Negação por falha, raciocínio não monotônico e semântica declarativa de programas lógicos Jacques Robin CIn-UFPE

3 Modelo de Herbrand: exemplo
F: (maria = mae(joao)  (X anc2(pai(X),X))  (Y anc2(mae(Y),Y))  (A,D anc2(A,pai(D))  anc2(A,D))  (E,F anc2(A,pai(D))  anc2(A,D)) Universo de Herbrand Uh(F): {maria, joao, mae(maria), mae(joao), mae(mae(maria)), mae(mae(joao)), ... } Base de Herband Bh(F): {maria = joao, maria = mae(maria), maria = mae(joao), joao = mae(maria), joao = mae(joao), ... anc(maria, maria), anc(maria,joao), anc(joao,maria), anc(joao,joao), anc(maria,mae(maria)), anc(mae(maria),maria)), anc(maria,mae(joao)), ... } Modelo de Herbrand mínimo mh(F): {maria = mae(joao), anc(maria,joao)}

4 Semântica declarativa de um programa lógico via formula da lógica da 1a ordem
Programa P: ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P). Semântica ingênua semIng(P): (A,D parent(A,D)  ancestor(A,D))  (A,D,P parent(P,D)  ancestor(A,P)  ancestor(A,D)) Consultas C: ?- ancestor(jacques,jacques) no No entanto, em lógica clássica da 1a ordem: semIng(P) | C semIng não reflete semântica sobre hipótese do mundo fechado Complementação de Clark comp(P): fórmula da lógica clássica da 1a ordem capturando semântica de P sobre hipótese do mundo fechado Modelo de P = mh(comp(P))

5 Semântica declarativa de um programa lógico sobre hipótese do mundo fechado
Construção de comp(P): Para cada predicado definido por n regras C:- P1. ,..., C:-Pn. substituir conjunção de implicações de semIng(P) por equivalência entre C, nas quais as variáveis U1,...,Uk foram substituídas por novas variáveis V1,...Vk, e uma disjunção de n conjunções, cada uma da forma  ...,Ui,  Vi = Ui ... Pm(...,Ui,...). Para cada predicado q(...,Wl,...) sem definição como conclusão de nenhuma cláusula mas aparecendo em premissa de regra(s) definindo outro predicados acrescentar fórmula Wl q(...,Wl,...) Exemplo: P = {ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P).} comp(P) = (Va,Vd ancestor(Va,Vd)  ((A,D Va = A  Vd = D  parent(A,D))  (A,D,P Va = A  Vd = D  Vp = P  parent(P,D)  ancestor(A,P))))  P,C parent(P.C) Em lógica da 1a ordem: comp(P) |= ancestor(jacques,jacques)

6 Negação por falha em programação em lógica
Programas lógicos normais ou gerais autorizam operador not de negação por falha nas premissas das regras e nas consultas. Crucial notar que: not não é autorizado nem em fatos, nem em conclusão de regras Semanticamente, not é distinto da negação clássica  da lógica Enquanto uma premissa ou consulta S de uma BC em lógica é verdade sse: BC |= S Uma premissa ou consulta not S de um programa lógico normal P é verdade sse: P | S Negação por falha funciona com hipótese do mundo fechado Resolução SLD de Prolog estendida na resolução SLDNF

7 Raciocínio com negação por falha: inerentemente não monotônico
Adição de novos fatos em uma BC em Prolog com negação por falha pode diminuir, no lugar de aumentar, o número de fatos deriváveis BC1: woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). ?- female(roberta). yes. BC2 = BC1 + man(roberta). no.

8 Negação por falha e raciocínio por default
A não monotonicidade da negação por falha permite usá-la para implementar raciocínio por default ave(piupiu). papaLeguas(bipbip). ave(X) :- papaLeguas(X). voa1(X) :- ave(X), not papaLeguas(X). voa2(X) :- not papaLeguas(X), ave(X). ?- voa1(X). X = piupiu. yes ; no ?- voa2(X). no. No entanto, Prolog ISO não segue uma semântica lógica declarativa para a negação por falha

9 Negação por falha e terminação
man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). ?- man(roberta). Problema devido a recursão através da negação O conhecimento acima é fácil modelar pela re-introdução das restrições de integridade: false :- man(X), woman(X). woman(X) :- human(X). man(X) :- man(X).

10 Limitações da semântica de complementação
b c d P: edge(a,b). edge(c,d). edge(d,c). reachable(a). reachable(X) :- edge(Y,X), reachable(Y). sink(X) :- not edge(X,Y). ?- reachable(c) ?- sink(b). yes ?- sink(X). no comp(P): edge(a,b)  edge(c,d)  edge(d,c)  (Vx reachable(Vx)  (Vx = a  Vx = X  Y (edge(Y,X)  reachable(Y))))  ((Vu sink(Vu)  (Vu = U  V edge(V,U))) Limitação 1: comp(P) | reachable(c). comp(P) | reachable(d). reachable(c)  (c=a  Y(edge(Y,c)  reachable(Y))  Y edge(Y,c)  reachable(Y)  reachable(d) Limitação 2: comp(P) | sink(b) sink(b)  (b=U  V edge(V,U))  V edge(V,U)  b=U

11 Semânticas declarativas para programas lógicos normais
Semântica de complementação de Clark válida apenas para programas lógicos definidos, sem negação Programa lógico estratificado: sem ciclo de dependências entre predicados através de negação Programa lógico consistente: sem ciclo com número par de dependências entre predicados através de negação Apenas programas lógicos normais estratificados possuem um único modelo mínimo de Herbrand definindo sua semântica Programas lógicos normais mais gerais requerem outras semânticas Extensões de Prolog ISO usam principalmente duas de tais semânticas: Semântica de modelos estáveis (ou de conjunto de respostas) Semântica bem fundamentada man human woman female + -

12 Semântica de programas lógicos normais via modelos estáveis
Objetivo de um modelo estável: definir conjunto de crenças consistentes para um agente racional Rd(P,M) redução definida Rd de um programa lógico normal P com respeito a um modelo (ou hipótese) M: proposicionalização ground(P) menos: as regras de P tendo como premissa a negação de um elemento de M as premissas negadas das regras restantes Justificativa da redução: Na hipótese que L é verdade, regras com not L em premissa não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P Na hipótese que L é falso, premissas com not L não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P Resulta em um programa lógico definido pelo quais podem ser usada as semânticas de Herbrand e de Clark M é um modelo estável de um programa lógico normal P sse: M = mm(Rd(P,M)) Se é o menor modelo de Herbrand da redução de P com respeito a ele mesmo

13 Modelos estáveis de programas lógicos normais: exemplo
Programa P: man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). Proposicionalização ground(P). man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta). woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta). female(roberta) :- woman(roberta). Redução Rd(P, {human(roberta),man(roberta)}): man(roberta) :- human(roberta). P tem 2 modelos estáveis mínimos: M1 = {human(roberta),man(roberta)} M2 = {human(roberta),woman(roberta),female(roberta)}

14 Modelos estáveis de programas lógicos normais: propriedades e limitações
Um programa lógico normal P é: Categórico se possui um único modelo estável Inconsistente se possui nenhum P é consistente e sem ciclos de dependência inteiramente positivo  P tem pelo menos um modelo estável Limitações dos modelos estáveis: dedução exponencial no tamanho da base fato alguns programas normais sem nenhum modelo estável Exemplo: P= {a., b :- a. c :- not c}. Rd(P,{a,b}) = P que não tem menor modelo mínimo de Herbrand já que não é estratificado

15 Programação por conjuntos de respostas
Máquinas de inferência que usam: Programação em lógica, freqüentemente com várias extensões, como linguagem de representação do conhecimento Proposicionalização e provadores de teoremas proposicionais para derivar modelos estáveis Respostas as consultas diretamente lidas destes modelos

16 Interpretações ternárias de Herbrand
Lógica ternária: Interpretação ternária de Herbrand de uma fórmula F da lógica da 1a ordem I(F) = (I+,I-) onde I+: fatos supostos verdades da base de Herbrand de F, Bh(F) I-: fatos supostos falsos da base de Herbrand de F, Bh(F) I(F) total se I+  I- = Bh(F) I(F) consistente se I+  I- =  Ordem informacional entre interpretações ternárias: I  J sse I+  J+ e I-  J- Modelo de Herbrand ternário: M3(F) = ({q  Bh(F) | F |= q}, {r  Bh(F) | F |= r}). P Q P Q PQ PQ PQ PQ T F U

17 Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais
R3(P,I) redução ternária R3 de um programa lógico normal P com respeito a uma interpretação de Herbrand ternária I: proposicionalização de P com cada premissa negada substituída pelo seu valor em I M = WFM(P) é um modelo bem fundamentado de P sse: M = M3(R3(P,M))

18 Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais: exemplo
Programa P: man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). Proposicionalização ground(P): man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta). woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta). female(roberta) :- woman(roberta). Redução R3(P, ({human(roberta)}, {})): man(roberta) :- human(roberta), u. woman(roberta) :- human(roberta), u. M = ({human(roberto)},{}) = M3(R3(P, M)) = WFM(P)

19 Semântica bem fundada: vantagens e limitações
Vantagens do modelo bem fundado: Dedução linear no tamanho da base de fato Todo programa normal tem um modelo bem fundado Exemplo: P= {a., b :- a. c :- not c}. R3(P,({a,b},{})) = {a., b:- c., u :- not u}. M3(R3(P,({a,b},{}))) = ({a,b},{}) = WFM(P). Limitações do modelo bem fundado: Em alguns casos, deixa indefinidas valores que são deduzíveis a partir dos modelos estáveis P: {p :- not q., q :- not p., r :- p., r :- q}. SM1(P) = {p, r}, SM2(P) = {q, r} WFM(P) = {{},{}}

20 Relações entre as várias semânticas de um programa lógico normal
Se P possui um único modelo estável SM(P) então: seu modelo bem fundado WFM(P) é total, e WFM(P) = SM(P) Se P é estratificado então: S possui um único modelo estável SM(P) S possui um modelo bem fundado total WFM(P) SM(P) = WFM(P) = mm(comp(P)).