Espaços Vectoriais A – Conjunto não vazio

Apresentação em tema: "Espaços Vectoriais A – Conjunto não vazio"— Transcrição da apresentação:

1 Espaços Vectoriais A – Conjunto não vazio
* – Operação definida sobre os elementos de A (A,*) GRUPÓIDE  * é lei de composição interna x*yA, x,yA (A,*) SEMIGRUPO  (A,*) é grupóide * é associativa (x*y)*z=x*(y*z), x,y,zA (A,*) MONÓIDE  (A,*) é semigrupo * tem elemento neutro eA : x*e=e*x=x, xA (A,*) GRUPO  (A,*) é monóide e todos os elementos de A * têm oposto relativamente a * xA x'A : x*x'=x'*x=e

2 Espaços Vectoriais A estrutura (A,*) diz-se ABELIANA ou COMUTATIVA se a operação * for comutativa x*y=y*x, x,yA

3 Espaços Vectoriais A – Conjunto com mais do que um elemento
 – Operação aditiva  – Operação multiplicativa (A,,) ANEL   é distributiva relativamente a  x(yz)=(xy)(xz) (xy)z=(xz)(yz), x,y,zA O anel (A,,) diz-se comutativo se  for comutativa

4 Espaços Vectoriais Propriedade: 0  1
O elemento neutro de  (se existir) diz-se unidade do anel. O elemento neutro de  diz-se zero do anel. Propriedade: 0  1 (A,,) CORPO 

5 Espaços Vectoriais Exemplos de CORPOS:
- Conjunto dos números racionais - Conjunto dos números reais - Conjunto dos números complexos ...

6 Espaços Vectoriais E – conjunto não vazio (conjunto dos vectores)
K – corpo (conjunto dos escalares) Operações (em E): Operações (em K): - Adição de vectores - Adição de escalares - Multiplicação de um escalar por um vector - Multiplicação de escalares

7 K x,yE : (xy)=(x)(y) ,K xE : (+)x=(x)(x)
Espaços Vectoriais E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K (E,) grupo comutativo K x,yE : (xy)=(x)(y) ,K xE : (+)x=(x)(x) ,K xE : ()x=(x) xE : 1x=x

8 Espaços Vectoriais DEFINIÇÃO
E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K ( e  definidas como no slide 6) EV1 x,y,zE : (xy)z=x(yz) EV2 eE xE : xe=ex=x EV3 xE x'E : xx'=x'x=e EV4 x,yE : xy=yx EV5 K x,yE : (xy)=(x)(y) EV6 ,K xE : (+)x=(x)(x) EV7 ,K xE : ()x=(x) EV8 xE : 1x=x

9 Espaços Vectoriais Se K = , E diz-se um espaço vectorial real. ¡
Se K = , E diz-se um espaço vectorial complexo. Os elementos de K dizem-se escalares. Os elementos de E dizem-se vectores.

10 Espaços Vectoriais Exemplos de ESPAÇOS VECTORIAIS:
é espaço vectorial real é espaço vectorial real com é espaço vectorial real e espaço vectorial complexo Qualquer corpo é espaço vectorial sobre si próprio.

11 Espaços Vectoriais E espaço vectorial sobre o corpo K
F é SUBESPAÇO VECTORIAL de E F é espaço vectorial com as operações induzidas

12 Espaços Vectoriais TEOREMA F (FE) é subespaço vectorial de E 
F fechado para as operações de adição e multiplicação por um escalar isto é, COROLÁRIO F (FE) é subespaço vectorial de E  x,yF,K:x+yF

13 Espaços Vectoriais E espaço vectorial sobre K S parte não vazia de E
xE x é COMBINAÇÃO LINEAR de elementos de S 

14 Espaços Vectoriais SE L(S) (=span(S))
= conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S Por convenção, L()={0} Observação: Os elementos de S são um sistema de geradores de S TEOREMA L(S) é subespaço vectorial de E Observação: L(S) é o mais pequeno subespaço vectorial de E que contem S, isto é, qualquer subespaço vectorial de E que contenha S também contem L(S)

15 Espaços Vectoriais TEOREMA
Se F e G são dois subespaços vectoriais de um espaço vectorial E, então FG é também um subespaço vectorial de E. DEFINIÇÃO Dados dois subespaços vectoriais F e G de um espaço vectorial E, chama-se soma dos subespaços vectoriais F e G e representa-se por F+G ao subconjunto de E constituído pelos vectores que são soma de um vector de F e de um vector de G, isto é, TEOREMA Se F e G são subespaços vectoriais do espaço vectorial E, então F+G é também um subespaço vectorial de E.

16 Espaços Vectoriais DEFINIÇÃO
Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial E tais que FG={0}. A soma de F e G designa-se por SOMA DIRECTA de F e G e representa-se por FG. Propriedade Seja E=FG. Qualquer elemento de E escreve-se de maneira única como soma de um elemento de F com um elemento de G. NOTA Em geral, a reunião de subespaços vectoriais de um espaço vectorial E não é um subespaço vectorial de E.

17 Espaços Vectoriais DEFINIÇÃO
Uma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E diz-se LINEARMENTE DEPENDENTE se for possível exprimir o vector nulo (0E) como combinação linear não nula de elementos de S (escalares não todos nulos).

18 Espaços Vectoriais DEFINIÇÃO
Uma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E que não seja linearmente dependente diz-se LINEARMENTE INDEPENDENTE.

19 Espaços Vectoriais Exemplos
No espaço vectorial dos polinómios reais de coeficientes reais, é linearmente dependente. é linearmente independente e

20 Espaços Vectoriais Propriedades
Uma parte S não vazia de um espaço vectorial E é linearmente dependente se e só se existe um vector em S que é combinação linear dos restantes. Se um subconjunto T de uma parte S de um espaço vectorial E for linearmente dependente, então S também é linearmente dependente. Se uma parte S de um espaço vectorial E é linearmente independente, o mesmo sucede a qualquer parte T de S.

21 Espaços Vectoriais Propriedades (continuação)
Se uma parte S de um espaço vectorial E contém um elemento x e o seu múltiplo escalar x, então S é linearmente dependente. Um espaço vectorial E é sempre linearmente dependente. Numa combinação linear de vectores linearmente independentes os escalares são univocamente determinados, isto é, se é um conjunto de vectores linearmente independentes,

22 Espaços Vectoriais TEOREMA
Seja um conjunto de n vectores de um espaço vectorial E. Seja Então Y é linearmente dependente. TEOREMA Seja, num espaço vectorial E, linearmente independente e também linearmente independente. Então

23 Espaços Vectoriais DEFINIÇÃO
O espaço vectorial E é finitamente gerado, ou de DIMENSÃO FINITA se existir um conjunto finito de vectores, tal que DEFINIÇÃO Um subconjunto S de E é uma BASE do espaço vectorial E se for linearmente independente e gerar E. DEFINIÇÃO O espaço vectorial E é de DIMENSÃO INFINITA se não possuir nenhum conjunto finito de geradores.

24 Espaços Vectoriais TEOREMA
Seja E um espaço vectorial de dimensão finita. Se é uma base de E, então toda a base de E tem n vectores. DEFINIÇÃO Um espaço vectorial E≠0} de dimensão finita que tenha uma base com n elementos (nN) diz-se de DIMENSÃO n. Se E=0}, convenciona-se que a sua dimensão é 0. NOTA Para indicar a dimensão de um espaço vectorial E usa-se dim (E).

25 Espaços Vectoriais TEOREMA
Seja E um espaço vectorial de dimensão finita tal que dim (E)=n, nN. I II Se S é um subconjunto de E linearmente independente, então existe uma base de E que contém S. Toda a parte linearmente independente de E constituída por n vectores é uma base de E. TEOREMA Sejam F e G subespaços vectoriais do espaço vectorial E de dimensão finita sobre o corpo K. 1) Se FG, então dim (F)  dim (G). Se FG e dim (F) = dim (G), então F=G. 2) dim (F+G) + dim (FG) = dim (F) + dim (G).

26 Espaços Vectoriais E  espaço vectorial  base ordenada de E xE
Exprimindo x como combinação linear (única) dos vectores da base ordenada, obtem-se (*) DEFINIÇÃO O n-uplo univocamente determinado para cada vector xE pela condição (*) diz-se o n-uplo das COORDENADAS de x na base ordenada