MECÂNICA ANALÍTICA Objetivos:

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1 MECÂNICA ANALÍTICA Objetivos:
Apresentar o enfoque lagrangeano na formulação das equações de movimento. Mostrar como o método lagrangeano resolve as dificuldades da aplicação direta das leis de movimento de Newton em sistema complexos. Mostrar como as equações de Lagrange apresentam as equações de movimento numa forma padrão mais conveniente. Mecânica analítica

2 Graus de liberdade (GDL)
O número de GDL é igual ao número de coordenadas (n) usadas para especificar o sistema menos o número de equações independentes de restrição (m). Usando a posição (x0,y0,z0) de um ponto arbitrário da barra e as coordenadas esféricas  e  para orientação; GDL=5. Partícula em movimento na superfície de uma esfera fixa de raio R. As coord. de posição (x,y,z) estão relacionadas pela equação de restrição. O centro da esfera está localizado em (x0,y0,z0). Assim n=3, m=1 e GDL=2. Duas partículas unidas por uma barra rígida Movimento de duas partículas m1 e m2 conectadas por uma barra sem massa, rígida e de comprimento l; restrita por, O número de GDL é uma característica do sistema, não depende do conjunto particular coordenadas de configuração. Assim, a escolha de coordenadas só influencia n e m. Assim n=6, m=1, GDL=n-m=5 Mecânica analítica

3 Coordenadas generalizadas
Coordenadas generalizadas. Conjunto de números que serve para especificar a configuração de um sistema, por exemplo os sistemas coordenados ou qualquer parâmetro de configuração. Para sistemas em movimento, estes números variam com o tempo e são tratados como variáveis algébricas. O termo coordenada generalizada pode-se referir aos sistemas coordenados, ou a qualquer conjunto de parâmetros de configuração. A análise matemática de um sistema dinâmico é simplificada escolhendo um conjunto de coordenadas generalizadas independentes igual ao número de GDL, sem equações de restrição. Equações de transformação, para N partículas, de um conjunto de 3N coordenadas x cartesianas para n coordenadas q generalizas, Para l equações de restrição relacionando os x´s e m equações de restrição dos q´s. Mecânica analítica

4 Restrições Equações de restrição: Restrições holonômicas
Sistema descrito por n coordenadas generalizadas q1,q2,q3; sujeito a m equações de restrições holonômicas independentes da forma: Procura-se um conjunto de coordenadas generalizadas que assumindo valores arbitrários não viole as restrições. Um sistema sujeito só a restrições holonômicas permite encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas, igual ao número de GDL. Restrições holonômicas escleronômicas Não dependem do tempo. Exemplo: pendulo duplo. As barras de comprimento l1 e l2 são rígidas e sem massa. Sistema com pino em m1 e O para ter movimento no plano. Restrições holonômicas rheonômicas São funções explícitas do tempo. Mecânica analítica

5 Restrições (cont.) Restrições holonômicas (cont.) Os sistemas sem atrito com restrições escleronômicas são conservativos. Sistema holonômico Sem equações de restrição ou todas elas holonômicas. Seja uma equação de restrição da forma: Sistema escleronômico i) As eqs. de restrição não apresentam funções explicitas do tempo ii) As eqs. de transformação expressam as coordenadas cartesianas x´s só como função das q´s, não do tempo. ela pode ocorrer quando por exemplo um conjunto de partículas está contido dentro de uma superfície fechada. No exemplo do pendulo duplo é possível encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas independentes (1, 2) com o mesmo número dos GDL. O pendulo duplo constitui um sistema conservativo. Mecânica analítica

6 Restrições (cont.) Restrições não holonômicas
Restrições colocadas em termos de expressões diferenciais não integráveis das coordenadas e do tempo a: função dos q´s e do tempo Não da para eliminar as coordenadas utilizando as equações de restrição. Os sistemas contendo estas restrições precisam mais coordenadas para sua descrição que os GDL. As condições de exatidão, necessárias para integração da expressão são: Mecânica analítica

7 Restrições (cont.) Restrições não holonômicas (cont.)
Exemplo: disco vertical que rola sem deslizamento no plano horizontal xy Coordenadas: posição (x,y) do ponto de contacto, ângulo de rotação  do disco, ângulo a entre plano do disco e o plano yz. Equações de restrição de rolamento sem deslizamento, não integráveis: Assim, GDL=4-2=2: As expressões não são diferencias exatos: As restrições não holonômicas não reduzem os possíveis valores das coordenadas generalizadas (x,y,a,f). Em nível de pequenos deslocamentos, só dois deslocamentos diferenciais independentes ficam, correspondentes aos GDL. Arbitrando da e df, obtêm-se dx e dy pelas eqs. de restrição. Mecânica analítica

8 Trabalho virtual onde Fi é a força aplicada à partícula i cujo vetor posição é ri. Caso. Se as coordenadas cartesianas estão sujeitas às restrições holonômicas, Deslocamento e trabalho virtual Seja um sistema com N partículas, definido em coordenadas cartesianas x1,x2,...,x3N, onde três coordenadas especificam a posição da partícula. Suponha as forças F1,F2,...,F3N ou F1,F2,...,FN aplicadas nessas coordenadas na direção positiva. Imagine o sistema submetido a pequenos e arbitrários deslocamentos virtuais 1,2,..., 3N, os quais ocorrem sem a passagem do tempo e com detenção das restrições de movimento. O trabalho virtual das forças aplicadas, as quais resultam constantes, é: os deslocamentos virtuais x estão relacionadas pelas m equações obtidas ao fazer dj=0, onde foi substituido os dx’s por t’s, além de que t=0. Da mesma forma, para caso de restrições não-holonômicas, os x’s são restritos por equações da forma, Mecânica analítica

9 Trabalho virtual (cont.)
Forças de restrição Condições de restrição implicam em... forças impostas ao sistema de partículas.... logo, consideremos o trabalho feito por alguns tipos de forças de restrição. Seja os deslocamentos virtuais r1 e r2, o trabalho virtual das forças de restrição é, Exemplo: Duas partículas unidas por uma barra rígida sem massa mas as componentes de deslocamento ao longo da barra rígida devem ser iguais, o que resulta na restrição, As forças transmitidas pela barra às partículas devem ser iguais, opostas e colineares. Assumindo que R1 é a força de restrição em m1 e R2 é a força de restrição em m2, logo, er: vetor unitário de m1 a m2 O trabalho virtual das forças de restrição é nulo. Mecânica analítica

10 Trabalho virtual (cont.)
O princípio do trabalho virtual - P.T.V. A condição para equilíbrio estático de um sistema escleronómico sem movimento sujeito a restrições bilaterais que não fazem trabalho é o trabalho virtual nulo das forças aplicadas ao se mover através de deslocamentos virtuais. Separa-se a força total que atua na partícula mi na força de restrição que não realiza trabalho Ri e na força aplicada Fi. Se um sistema de N partículas está em equilíbrio estático, logo em cada partícula Seja um sistema de N partículas onde as forças aplicadas são conservativas. Usando coordenadas cartesianas para definir a posição das partículas, a função de energia potencial pode ser escrita, O trabalho virtual das forças a partir dos deslocamentos virtuais ri é, O trabalho virtual das forças forças de restrição é nulo, A componente da força aplicada na direção xi é: Logo, Mecânica analítica

11 Trabalho virtual (cont.)
O princípio do trabalho virtual (cont.) Assume-se um conjunto de coordenadas generalizadas independentes com restrições holonômicas. Em equilíbrio V=0, para uma escolha arbitrária dos q’s, os coeficientes devem se anular, Trabalho virtual das forças aplicadas para um deslocamento virtual consistente com as restrições: A primeira variação na energia potencial devido a um deslocamento arbitrário é: A primeira variação na energia potencial devido a um deslocamento arbitrário é: A configuração de equilíbrio estático de um sistema holonômico conservativo com restrições fixas que não realizam trabalho ocorre quando a energia potencial mostra um valor estacionário. Via PTV, condição necessária e suficiente para equilíbrio estático de um sistema conservativo com restrições bilaterais, Colocando a energia potencial em termos das coordenadas generalizadas q1,...,qn: Mecânica analítica

12 Trabalho virtual (cont.)
Princípio de D’Alembert Logo, usa-se os métodos da estática para obter as equações de movimento de um sistema dinâmico. Seja uma partícula de massa m sujeita à aceleração absoluta a, por causa da força externa F, resulta: A força de inércia (–ma) é considerada como uma força adicional na partícula. Considere um sistema de N partículas com restrições bilaterais que não geram trabalho. Utiliza-se o PTV para obter a forma Lagrangeana do Princípio de D’Alembert : Fi: força aplicada em mi ri: deslocamento virtual de mi Mecânica analítica

13 Forças generalizadas O trabalho virtual resulta:
Seja um sistema de N partículas com posições especificadas pelas coordenadas x1,x2,...,x3N. Sejam as forças x1,x2,...,x3N aplicadas na direção positiva das coordenadas. O trabalho virtual das forças em um deslocamento virtual arbitrário consistente com as restrições é: onde a força generalizada Qi associada com a coordenada generalizada qi é: Supondo que as coordenadas cartesianas estão relacionadas às coordenadas generalizadas. Assumindo t=0, podemos obter o deslocamento virtual: Qi é o trabalho virtual por deslocamento unitário de qi pelas forças atuando no sistema quando as outras coordenadas generalizadas ficam constantes. Mecânica analítica

14 Forças generalizadas (cont.)
Considere um sistema holonômico inicialmente sem movimento com restrições fixas que não geram trabalho. Se sua configuração é expressa em termos de coordenadas generalizadas independentes, a condição necessária e suficiente para equilíbrio estático é zerar os Q’s devido às forças aplicadas. Mas, as forças de restrição (R’s) não devem ser ignoradas, pois juntamente com as forças aplicadas ao sistema, neste caso especial, contribuem com a força generalizada Qi. Como exemplo, existem forças de restrição generalizadas que ocorrem na análise de sistemas não holonômicos ao ser impossível a escolha de coordenadas generalizadas independentes. Estas forças de restrição generalizadas são geralmente obtidas através dos multiplicadores de Lagrange. Mecânica analítica

15 Derivações das Equações de Lagrange
Considere um sistema de N partículas, cujas posições são definidas em coordenadas cartesianas x1,x2,...,x3N. A Energia Cinética T do sistema é: e, Para sistemas reonômicos, a energia cinética total pode ser escrita como, Para n coordenadas generalizadas, das equações de transformação resulta: ao expandir T e mudando j para k assim Então: Mecânica analítica

16 Derivações das Equações de Lagrange (cont.)
Momentum generalizado Equações de Lagrange O momentum generalizado pi associado com a coordenada generalizada qi é, Para o sistema de de N partículas, resulta Mas de, Observa-se que pi é um escalar Para sistemas simples de coordenadas indica a componente do vetor momentum na direção da coordenada qi. Para um sistema de coordenadas não ortogonal, pi é a projeção do momentum total na direção do eixo qi. Para coordenadas mais gerais, pi não expressa significância física simples. Então: A mudança do momentum generalizado é, e fazendo i=k na mudança da expressão, Mecânica analítica

17 Derivações das Equações de Lagrange (cont.)
A quantidade de q’s deve ser igual ao número de GDL se as forças generalizadas devidas às restrições que não produzem trabalho são zero. Da energia cinética, Assumindo q’s independentes, Assim, A mudança no tempo do momentum generalizado pi é igual à força generalizada Qi, referente às forças aplicadas, mais a força de inércia generalizada devido ao movimento nas outras coordenadas generalizadas. Aplica-se a lei de Newton de movimento, onde a força total atuante na partícula j na direção xj é a soma das forças de restrição que não geram trabalho Rj e as forças aplicadas Fj. Com a definição de pi e rearranjando a expressão, encontra-se a forma fundamental das n equações de Lagrange: Mecânica analítica

18 Derivações das Equações de Lagrange (cont.)
Quando as forças generalizadas do sistema não são completamente deriváveis de uma função potencial, a equação será igual a estas forças generalizadas, representadas por Qi’: Outra forma de das equações de Lagrange pode ser obtida para sistemas em que todos os Q’s são deriváveis de uma função potencial V=V(q,t): Definindo a função Lagrangiana L: Exemplos típicos de Qi’ são as forças de atrito, funções de força variável no tempo e forças de restrições não holonômicas. Substituindo as duas expressões acima na forma fundamental das equações de Lagrange, encontramos a forma padrão das equações de Lagrange: Mecânica analítica

19 Multiplicadores de Lagrange
As variações das coordenadas (dt=0) generalizadas individuais devem satisfazer, Os termos de forças generalizada representando as forças de restrição devem aparecer nas equações. A natureza não integrável das equações de restrição em sistemas não holonômicos requer mais coordenadas que GDL. (*) Seja Ci a força de restrição generalizada correspondente a qi, para qualquer conjunto de q’s, que satisfaça a equação anterior, O método dos multiplicadores de Lagrange, aplicável a restrições holonômicas e não holonômicas, permite resolver essas forças de restrição. (**) Multiplicando (*) por um fator conhecido como multiplicador de Lagrange obtém-se, As equações de restrição não holonômicas (e holonômicas) podem ser escritas da forma: Subtraindo a soma das m equações de (**) e mudando a ordem da soma, Considere um sistema com restrições sem atrito holonômicas ou não holonômicas. Mecânica analítica

20 Multiplicadores de Lagrange (cont.)
O sistema com (n-m) incógnitas foi substituído por outro com (n+m) incógnitas, considerando as variáveis l’s. Este procedimento resulta em equações mais simples, a simetria do problema é preservada e ainda as forças de restrição são obtidas durante a solução. Sendo os q’s independentes resulta, A partir da equações padrão, obtém-se a forma padrão não-holonômica das equações de Lagrange : Caso as restrições envolvam forças dissipativas, como o atrito por deslizamento, estas forças generalizadas são escritas como termos separados envolvendo os Ci e outros termos. Com isto, possuímos n equações de movimento, mas (n+m) incógnitas, os n q’s e os m l’s. As m equações adicionais são obtidas escrevendo as eqs. de restrição na forma, Mecânica analítica

21 Sistemas conservativos
Condições para definir um sistema como conservativo: A forma padrão das equações de Lagrange (holonômica ou não-holonômica) se aplica. A função Lagrangeana L(q,dq/dt) não é uma função explícita do tempo. Qualquer equação de restrição (holonômica ou não-holonômica) pode ser expressa na forma seguinte de forma que os coeficientes ajt são nulos. Aplicando estas três condições, podemos resolver o problema utilizando a equação: Onde h é uma constante. Mecânica analítica

22 Exemplo Como o problema depende do tempo, se trata de sistema reonômico. Como a força de restrição atua sobre O, esta não contribui para Q.. Para obter a energia cinética, calcula-se primeiro a velocidade absoluta da massa m. O ponto O de um pêndulo simples de comprimento l desloca-se horizontalmente de acordo com a expressão abaixo, no plano de movimento em . Encontre a equação diferencial de movimento. Então: Conforme a figura: Mecânica analítica

23 Exemplo (cont.) Desta forma, utilizando a forma original da equação de Lagrange, encontramos a seguinte equação de movimento para o sistema: A energia potencial é Como L=T-V, temos que: Mecânica analítica