EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas Método dos coeficientes a determinar Cálculo 2 A – Turma H1 2014.1.

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1 EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas Método dos coeficientes a determinar
Cálculo 2 A – Turma H1 2014.1

2 y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) + Y(t),
EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) + Y(t), onde y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c1 e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea. Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada. 1- Encontrar a solução geral c1 y1(t) + c2 y2(t) da equação homogênea associada (yh); 2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea (yp); 3 – Somar as duas funções encontradas ( y = yh + yp).

3 Método dos coeficientes a determinar
Seja y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) Vimos que y(t) = yh + yp é solução. Vamos ver como achar yp(t) quando g(t) é um(a): 1- Polinômio de grau n na variável t 2- Múltiplo de uma função exponencial 3 - Combinação linear de funções trigonométricas 4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

4 Método dos coeficientes a determinar
g(t) yp(t) 1 - a0tn +a1t(n-1) an 1 -(A0tn + A1t(n-1) An) 2 - Ae t 2 -Be t 3.1- cos(t) ou sen(t) 3.2 - cos(1t)+sen(2t) 3.1 - b1cos(t)+ b2sen(t) 3.2 – [b1cos(1t)+ b2sen(1t)]+ [c1cos(2t)+ c2sen(2t)] (a0tn +a1t(n-1) an)e t sen(t) ou (a0tn +a1t(n-1) an)e t cos(t) [(A0tn + A1t(n-1) An) etcos(t) + (0tn + 1t(n-1) n) etsen(t) Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita.

5 Método dos coeficientes a determinar
Obs: Se algum termo da expressão de yp for solução da equação homogênea associada propõe t.yp(t) para solução particular de (5). Caso t.yp(t) seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t2.yp(t) e assim por diante. Deste modo na prática temos: g(t) yp(t) 1 - a0tn +a1t(n-1) an 1 –t s(A0tn + A1t(n-1) An) 2 - Ae t 2 -t sBe t 3.1- cos(t) ou sen(t) 3.2 - cos(1t)+sen(2t) 3.1 –t s (b1cos(t)+ b2sen(t)) 3.2 – t s[b1cos(1t)+ b2sen(1t)]+ t s [c1cos(2t)+ c2sen(2t)] (a0tn +a1t(n-1) an)e t sen(t) ou (a0tn +a1t(n-1) an)e t cos(t) t s [(A0tn + A1t(n-1) An) etcos(t) +t s (0tn + 1t(n-1) n) etsen(t) De modo que s seja o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2,...) que garanta que nenhuma parcela de yp(t) seja solução da equação homogênea correspondente.