LFA: Unidade 03 – Parte B Engenharia/Ciência da Computação

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1 LFA: Unidade 03 – Parte B Engenharia/Ciência da Computação
Prof. François

2 Equivalência entre AFN e AFD
Teorema: Equivalência entre AFD e AFN A classe dos AFD é equivalente à classe dos AFN. A prova consiste em mostrar que para todo AFN M é possível construir um AFD M’ que realiza o mesmo processamento, ou seja, M’ simula M. A demonstração apresenta um algoritmo para converter um AFN qualquer em um AFD equivalente.

3 Equivalência entre AFN e AFD
A idéia central do algoritmo é a construção de estados de M’ que simulem as diversas combinações de estados de M. A transformação contrária - construir um AFN a partir de um AFD - não necessita ser demonstrada, uma vez que decorre trivialmente das definições (Por quê? Porque a função programa  do AFN contém a função programa ’ do AFD). Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN qualquer e seja M’ = (’, Q’, ’, <q0>, F’) um AFD construído a partir de M como se segue:

4 Equivalência entre AFN e AFD
Q’ :Conjunto de todas as combinações, sem repetições, de estados de Q, as quais são denotadas por <q1q2...qn> onde qi  Q para i em {1, 2, ..., n}. Note-se que a ordem dos elementos não identifica mais combinações. Por exemplo: <quqv> = <qvqu>. ’ : Tal que ’(<q1...qn>, a) = <p1...pm> sss  ({q1, ..., qn}, a) = {p1, ..., pm}, ou seja, um estado de M’ representa uma imagem de todos os estados alternativos de M. <q0>:Estado inicial. F’ :Conjunto de todos os estados <q1q2...qn>  Q’ tal que alguma componente qi  F, para i  {1, 2, ..., n}.

5 Equivalência entre AFN e AFD
PROVA: A demonstração de que o AFD M’ simula o processamento do AFN M é dada por indução sobre o tamanho da palavra. Deve-se provar que, para uma palavra qualquer w de : ’(<q0>, w) = <q1...qu> sse ({q0}, w) = {q1, ..., qu} (A prova está no livro, na página 58). Exemplo: Construção de um AFD a partir de um AFN. Seja o AFN M6 = ({a,b}, {q0, q1, q2, qf}, 6, q0, {qf}), dado no exemplo anterior e representado abaixo:

6 Equivalência entre AFN e AFD

7 Equivalência entre AFN e AFD
O AFD M6’ = ({a, b}, Q’, ’, <q0>, F’), construído conforme o algoritmo dado é:

8 Equivalência entre AFN e AFD
onde: Q’ = {<q0>,<q1>,<q2>,<qf>,<q0q1>,<q0q2>, ...,<q0q1q2qf>} F’ = {<qf>,<q0qf>,<q1qf>,...,<q0q1q2qf>} 6’ = É tal conforme os valores dados na tabela abaixo:

9 Equivalência entre AFN e AFD
6’ a b <q0> <q0q1> <q0q1q2> <q0q1q2qf>

10 Equivalência entre AFN e AFD
No grafo que representa M6’, acima, p0, p1, p2 e pf denotam respectivamente <q0>, <q0q1>, <q0q1q2>, <q0q1q2qf>.

11 AF com Movimento vazio Autômato Finito com Movimento Vazio
Movimentos vazios constituem uma generalização dos AFN e são transições que ocorrem sem que haja a leitura de símbolo algum Os movimentos vazios podem ser interpretados como um não-determinismo interno do autômato, que é encapsulado. A não ser por uma eventual mudança de estados, nada mais pode ser observado sobre um movimento vazio.. Qualquer AF pode ser simulado por um autômato finito não-determinístico

12 AF com Movimento vazio Definição: Autômato Finito com Movimento Vazio (AF) Um autômato finito não-determinístico e com movimento vazio (AFN), ou simplesmente autômato finito com movimento vazio (AF), é uma quíntupla: M = (, Q, , q0, F), onde:

13 AF com Movimento vazio  - Alfabeto de símbolos de entrada
Q - Conjunto finito de estados possíveis do autômato  - Função programa ou função de transição : Q x (  {})  2Q, parcial. q0 - Estado inicial tal que q0  Q F - Conjunto de estados finais, tais que F  Q. Portanto os componentes do AF são os mesmos do AFN, com exceção da função programa (ver figura abaixo).

14 AF com Movimento vazio

15 AF com Movimento vazio O processamento dos AF é similar ao dos AFN. Por analogia o processamento de uma transição para uma entrada vazia também é não-determinística. Assim um AF ao processar uma entrada vazia assume simultaneamente os estados de origem e destino da transição. Exemplo: Autômato Finito com Movimento Vazio O AF M7 = ({a,b}, {q0, qf}, 7, q0, {qf}), representado na figura abaixo reconhece a linguagem L7 ={ w | qualquer símbolo a antecede qualquer símbolo b }, onde 7 é representada na forma da tabela:

16 AF com Movimento vazio 7 a b  q0 {q0} - {qf} qf

17 AF com Movimento vazio

18 Computação Vazia Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito com movimentos vazios. a) A Computação Vazia ou Função Fecho Vazio, a partir de um estado, denotada por:  : Q  2Q , e é indutivamente definida como segue:  (q) ={q}, se (q, ) é indefinida;  (q) ={q} U (q, ) U (Up(p)), caso contrário; b) a Computação Vazia ou Função Fecho Vazio, a partir de um conjunto de estados finito, denotada por:

19 Computação Vazia * : 2Q  2Q é tal que * (P) = Uqp (q)
Lembrar que * e  são agrupadas em . Considere o autômato finito com movimentos vazios do exemplo anterior. Então:  (q0) = {q0, qf }  (qf) = {qf} ({q0,qf) = {q0, qf }

20 Computação Vazia A computação de um autômato finito com movimentos vazios, para uma palavra de entrada w, consiste na sucessiva aplicação da função programa para cada símbolo de w (da esquerda para a direita), cada passo de aplicação intercalado com computações vazias, até ocorrer uma condição de parada. Assim, para cada conjunto de estados alternativos assumido pelo autômato, antes de processar a próxima transição, é necessário determinar todos os demais estados atingíveis exclusivamente por movimentos vazios.

21 Computação Vazia Definição - Função Programa Estendida, Computação
Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito com movimentos vazios. A Função Programa Estendida ou Computação de M, denotada por: * : 2Q x *  2Q é a função programa:  : Q x ( U {})  2Q estendida para um conjunto finito de estados e para uma palavra e é indutivamente definida como segue:

22 Computação Vazia *(P, ) =  (P)
*(P,wa) =  (R) onde R={r|r  (s,a) e s  *(P,w)} A parada do processamento, a linguagem aceita e a rejeitada é igual à do AFN ACEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F ≠Ф} REJEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F = Ф ou *({qo}, w) é indefinida}

23 Computação Vazia Exemplo de Computação Vazia
Considere a seguinte linguagem sobre o alfabeto { a, b, c}, La = {w | w possui como sufIxo a ou bb ou ccc} O autômato finito com movimentos vazios:

24 Computação Vazia O autômato descrito acima M8 = ({ a, b, c}, {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, qf}, 8, q0, {qf}) é tal que ACEITA(M8) = L8 E em relação à computação vazia, vale que, por exemplo:,  ({q0}) = {q0, q1, q2, q4} E a computação da entrada abb é:

25 Computação Vazia *({qo},abb) =  ({r |r  (s,b) e s  *({q0},ab)}) (1) Sendo que *({qo},ab) =  ({r |r  (s,b) e s  *({q0},a)}) (2) E *({qo},a) =  ({r |r  (s,a) e s  *({q0}, )}) (3) Como *({qo}, ) =  ({q0})={q0, q1, q2, q4}

26 Computação Vazia O qual considerado em (3):
*({qo},a) = })={q0, q1, q2, q4,qf} O qual considerado em (2): *({qo},ab) = })={q0, q1, q2, q3,q4} O qual considerado em (1): *({qo},abb) = })={q0, q1, q2, q3, q4, qf}

27 Computação Vazia Equivalência entre AFN e AFN
Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN. E MN = (, Q, , q0, FN ) um autômato construído a partir de M como segue: a) N : Q x   2Q é tq N (q,a) = * ({q},a) b) FN é o conjunto de todos os estados q pertencentes a Q tq:  (q) ∩ F ≠Ф (todos os estados que atingem estados finais via computações vazias).

28 Computação Vazia EXEMPLO - Construção de AFN a partir de AFN
Considere o autômato finito com movimentos vazios M9 na figura abaixo::

29 Computação Vazia E 9 dado por 9 a b  q0 {q0} - {q1} q1 {q2} q2

30 Computação Vazia Assim o automato M9 = ({a, b}, {q0, q1, q2}, 9, qo, {q2}) E o correspondente AFN: M9N = ({a, b}, {q0, q1, q2}, 9N, qo, FN) é construído assim: FN = {q0, q1, q2, pois:  (q0) = {q0, q1, q2}  (q1) = {q1, q2}  (q2) = {q2}

31 Computação Vazia Na construção de 9N note-se que:
9*({q0}, ))={q0, q1, q2} 9*({q1}, ))={q1, q2} 9*({q2}, ))={q2} Assim, 9N é tq: 9N (q0,a)= 9*({q0},a)=  ({r |r  (s,a) e s  *({q0}, )})= {q0, q1, q2}

32 Computação Vazia 9N (q0,b)= 9*({q0},b)=  ({r |r  (s,b) e s  *({q0}, )})= {q1, q2} 9N (q1,a)= 9*({q1},a)=  ({r |r  (s,a) e s  *({q1}, )})= {q2} 9N (q1,b)= 9*({q1},b)=  ({r |r  (s,b) e s  *({q1}, )})= {q1, q2} 9N (q2,a)= 9*({q2},a)=  ({r |r  (s,a) e s  *({q2}, )})= {q2}

33 Computação Vazia 9N (q2,b)= 9*({q2},b)=  ({r |r  (s,b) e s  *({q2}, )}) é indefinida E o AFN equivalente é: