Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira1 Unidade 3 Introdução à teoria do portefólio 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente 2. Determinação da.

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1 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira1 Unidade 3 Introdução à teoria do portefólio 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente C arlos Arriaga 2009/10

2 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira2 Unidade teórica 3. Relação entre o risco e a rentabildade esperada. O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?. Como modelizar a eficiência ?. Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?. Como determinar a fronteira de eficiência?. A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe).

3 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira3 Rentabilidades e distribuição de probabilidades Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção: Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção: R = (div + P1 – P0) / Po R = (div + P1 – P0) / Po R é uma variável aleatória R~ N (r,G) R é uma variável aleatória R~ N (r,G)

4 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira4 MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959) HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: - HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal. H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros.

5 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira5 Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos) H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos) H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas. H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas. H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período. H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período.

6 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira6 ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular. Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular. Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros

7 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira7 FRONTEIRA EFICIENTE 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes) 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes) 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor. 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor.

8 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira8 PRIMEIRA FASE Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2). Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2). Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco. Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco. Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente, que é independente das preferências individuais dos investidores. Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente, que é independente das preferências individuais dos investidores.

9 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira9 Segunda Fase Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença) Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença) A fronteira de eficiência (dado objectivo) A fronteira de eficiência (dado objectivo) Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença.

10 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira10 Fronteira eficiente E(p) E(p) σ (p) σ (p)

11 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira11 Diversificação eficiente O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado. O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado. Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio. Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio. O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio. O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio. Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco. Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.

12 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira12 Diversificação – exemplo com dois activos financeiros Activo A E (R A ) = 5% σ (R A ) = 20% Activo A E (R A ) = 5% σ (R A ) = 20% Activo B E (R B ) = 15% σ (R B ) = 40% Activo B E (R B ) = 15% σ (R B ) = 40% Que proporções de A e de B? Que proporções de A e de B? Três situações: Três situações: ρ AB = 1 ρ AB = 1 ρ AB = - 1 ρ AB = - 1 -1< ρ AB<1 -1< ρ AB<1

13 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira13 Diversificação – exemplo com dois activos financeiros E( R) E( R) 15% 15% 10% B 10% B C C 5% A 5% A 10% 20% 40% 10% 20% 40% σ( R) σ( R)

14 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira14 Diversificação

15 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira15 Medida de risco de um activo A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefólio A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefólio σip = Σ xj σij σip = Σ xj σij A variância do portefólio é igual à média ponderada das co-variâncias dos activos com o portefólio. A variância do portefólio é igual à média ponderada das co-variâncias dos activos com o portefólio. Σ σ p = Σ xj σiP Σ σ 2 p = Σ xj σiP

16 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira16 Teoremas dos portefólios eficientes Proposição 1 Proposição 1 Considerado c uma constante e R-c o vector Considerado c uma constante e R-c o vector R-c = [E (r1) –c R-c = [E (r1) –c E (r2)- c E (r2)- c E(rn) – c] E(rn) – c] O vector Z resolve as equações R-c = Sz O vector Z resolve as equações R-c = Sz Z = S -1 [R-c] Z = S -1 [R-c] X = {x1, x2….xn} X = {x1, x2….xn}

17 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira17 Teoremas dos portfefólios eficientes Proposição 1 Proposição 1 Xi = zi / ΣZj Xi = zi / ΣZj Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma c xi porfolio de tangência dado c c xi porfolio de tangência dado c

18 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira18 Teoremas dos portefólios eficientes Proposição 2 Proposição 2 Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante ax + (1-a)y ax + (1-a)y Também se encontra na fronteira de eficiência Também se encontra na fronteira de eficiência

19 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira19 Teoremas dos portfolios eficientes Proposição 3 Proposição 3 Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência E (rx) = c + β x [E(ry) – c] E (rx) = c + β x [E(ry) – c] β x = Cov (x,y) / σ 2 y β x = Cov (x,y) / σ 2 y c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0 c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0 c = E(rz) c = E(rz) Cov (y,z) = 0 Cov (y,z) = 0

20 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira20 Portefólio eficiente e não eficiente E(Rp) E(Rp) portfolio eficiente portfolio eficiente E(rm) E(rm) x y porfolios possiveis e não eficientes x y porfolios possiveis e não eficientes σ (p) σ (p)

21 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira21 Cálculo da fronteira eficiente Suponha que um portfolio e constituido pela porporção a do portfolio x e (1-a) do portfolio y Suponha que um portfolio e constituido pela porporção a do portfolio x e (1-a) do portfolio y E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry) E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry) σ p = √ a 2 σ 2 x + (1-a) σ 2 y +2a(1-a) cov(x,y) σ p = √ a 2 σ 2 x + (1-a) σ 2 y +2a(1-a) cov(x,y)

22 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira22 Fronteira eficiente - construção Data /table : Considerar ocalculo para um portfolio w Data /table : Considerar ocalculo para um portfolio w Proporção de X 0.3 Proporção de X 0.3 Retorno : 8.66% Retorno : 8.66% σ do portfolio :43,5% σ do portfolio :43,5% SigmaReturn =Formula=Formula -0.30.72740.1014 00.5780.0940 0.40.38740.0841 0.30.43350.0866 0.50.34290.0817 10.19170.0693 1.50.30240.057 1.60.34450.0545

23 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira23 CML Capital market Line R-rf = Sz R-rf = Sz Mi = Zi / ∑Zi Mi = Zi / ∑Zi E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line σ p = √ a 2 σ 2 rf + (1-a) σ 2 M +2a(1-a) cov(rf,M)= σ p = √ a 2 σ 2 rf + (1-a) σ 2 M +2a(1-a) cov(rf,M)= = (1-a) σM = (1-a) σM

24 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira24 Capital market line E(Rp) E(Rp) Portfolio de mercado Portfolio de mercado E(rm) E(rm) x y porfolios possiveis e não eficientes x y porfolios possiveis e não eficientes rf rf σ (p) σ (p)

25 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira25 Modelo simplificado de Sharpe Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) Conhecimento da matriz das co-varâncias Conhecimento da matriz das co-varâncias Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: Ř i = α i + β i Ĩ + ũ i Ř i = α i + β i Ĩ + ũ i Ĩ = α n +1+ v n+1 Ĩ = α n +1+ v n+1

26 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira26 Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T. Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos financeiros são função lineares de mais do que um factor APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos financeiros são função lineares de mais do que um factor

27 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira27 Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro 1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz. 1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz. 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição. 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição. 3. Homogeneous expectations: todos os investidores detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada título 3. Homogeneous expectations: todos os investidores detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada título 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte económico 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte económico

28 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira28 Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos. 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos. 6. Não existem custos de transacção. 6. Não existem custos de transacção. 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras. 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras. 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro. 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro.

29 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira29 Condições de estimação do modelo de mercado O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: 1. Ser exaustivo, isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) 1. Ser exaustivo, isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples.

30 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira30 SML com activo sem risco E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf] E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf] Βx = Cov (x, M) / σ 2 M Βx = Cov (x, M) / σ 2 M

31 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira31 Security Market Line E(Rp) E(Rp) E(rm) E(rm) y y rf rf Zero Beta Portfolio Zero Beta Portfolio 1 β (p) 1 β (p)

32 Carlos ArriagaEconomia bancária e Financeira32 CONCLUSÃO Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado. Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado. Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólio Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólio Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação. Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação.