Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205.

Apresentação em tema: "Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205."— Transcrição da apresentação:

1 Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

2 Computer Vision AVISO O assunto da aula de Hoje pode ser encontrado em sua completude nas seguintes Bibliografia: Digital Image Processing, First Edition, 1993, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Addison-Wesley, Chapter 3 Digital Image Processing, Third Edition, 2008, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Prentice Hall, Chpater 4 Um Curso de Cálculo, Hamilton Guidorizzi, 1988, Livros Técnicos e Científicos, Volume 4, Capítulo 50

3 Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

4 Computer Vision Séries de Fourier Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:

5 Computer Vision Séries de Fourier As constantes a 0, a k e b k (1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)

6 Computer Vision Séries de Fourier Problema: para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma série trigonométrica convergente para f(x)? f(x)

7 Computer Vision Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.

8 Computer Vision Séries de Fourier 0

9 Computer Vision Séries de Fourier Agora só falta de determinar a k e b k !!

10 Computer Vision Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

11 Computer Vision Séries de Fourier Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima

12 Computer Vision Séries de Fourier Lembrando que: 0 0

13 Computer Vision Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a: que se junta a:

14 Computer Vision Séries de Fourier

15 Computer Vision Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

16 Computer Vision Coeficientes da Série t f(t)f(t) 0 T

17 Computer Vision Série de Fourier com números complexos

18 Computer Vision Transformada de Fourier DIRETA INVERSA

19 Computer Vision Transformada de Fourier (outra notação)

20 Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

21 Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

22 Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

23 Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

24 Computer Vision Transformada Discreta de Fourier

25 Computer Vision Transformada Discreta de Fourier

26 Computer Vision Resultados da Transformada de Fourier

27 Computer Vision Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

28 Computer Vision Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w f(x)f(x) x a b

29 Computer Vision Distribuição normal: Gaussiana

30 Computer Vision Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

31 Computer Vision Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x) 2 f(x 0 ) f(x 0 + d x ) f(x 0 + 2d x ) f(x 0 + 3 d x ) x 3 4 0.5 0.751.01.25 x f(x)=f(x + d x ) 2 3 4 0.50.751.0 1.25

32 Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

33 Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

34 Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

35 Computer Vision Exemplos F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]

36 Computer Vision Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

37 Computer Vision Separabilidade Lembrando o par de Transformadas de Fourier

38 Computer Vision Separabilidade Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:

39 Computer Vision Separabilidade Expandindo e arrumando:

40 Computer Vision Separabilidade Da mesma forma, para a transformada inversa:

41 Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

42 Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

43 Computer Vision Translação Um problema para visualizar o espectro de Fourier de Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0

44 Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|

45 Computer Vision Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u 0, v 0, x 0, y 0 : e

46 Computer Vision Translação Mas, quando M = N e u 0 = v 0 = N/2 : Substituindo (2) em (1), concluímos que:

47 Computer Vision Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11: Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y

48 Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização é claramente melhor f(x,y) |F(u,v)| sem Shift |F(u,v)| com Shift

49 Computer Vision Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:

50 Computer Vision Rotação Se introduzirmos coordenadas polares: Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:

51 Computer Vision Rotação Exemplo de Rotação

52 Computer Vision Distributividade Uma vez que: A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO Mas... A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO

53 Computer Vision Escala Para dois escalares a e b

54 Computer Vision Valor Médio

55 Computer Vision Valor Médio

56 Computer Vision Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

57 Computer Vision Pares importantes

58 Computer Vision Propriedades da transformada

59 Computer Vision Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier! Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!

60 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

61 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

62 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

63 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

64 Computer Vision Resultado F(0,0) = 0 Filtragem no Domínio da Frequência

65 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com uma função Gaussiana Passa-Baixa Passa-Alta

66 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com uma função Gaussiana

67 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

68 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

69 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

70 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

71 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

72 Computer Vision ILPFBLPF

73 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

74 Computer Vision Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (BLPF)

75 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (BLPF)

76 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: Comparação Gaussian-Butterworth Lowpass Filters

77 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

78 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

79 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

80 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

81 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: Highpass Filters

82 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: IHPF

83 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: BHPF

84 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: GHPF

85 Computer Vision IDEAL BUTTERWORTH GAUSSIAN

86 Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

87 Computer Vision Compressão JPEG Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

88 Computer Vision Compressão JPEG JPEG é o anacrônico para Joint Photographic Experts Group Baseia-se nos seguintes passos: Subdivisão da Imagem em blocos de 8 x 8 pixels Quantização com a matriz de normalização Da JPEG Cálculo de DCT Codificação baseada no tamanho das variáveis Compressão Decodificação baseada no tamanho das variáveis Desquantização com a matriz de normalização Da JPEG Cálculo DCT Inversa Composição da Imagem usando os em blocos de 8 x 8 pixels Descompressão

89 Computer Vision Transformada Discreta de Cosseno

90 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 1, subdivisão da Imagem em Blocos de 8 x 8 pixels 8 x 8

91 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco Exemplo de Bloco 8 x 8 5552616670616473 63596690109856972 6259681131441046673 6358711221541067069 676168104126886870 7965607077685875 8571645955616583 8779696865767894

92 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco Shift de -128 -76-73-67-62-58-67-64-55 -65-69-62-38-19-43-59-56 -66-69-60-1516-24-62-55 -65-70-57-626-22-58-59 -61-67-60-24-2-40-60-58 -49-63-68-58-51-65-70-53 -43-57-64-69-73-67-63-45 -41-49-59-60-63-52-50-34

93 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco -415-29-622555-203 7-21-62911-7-66 -46877-25-30107-5 -501335-15-9603 11-8-13-21-41 -1013-302 -42 2-31-2 -2 0

94 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização Matriz de Normalização JPEG

95 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização Suponha que um coeficiente DCT encontrado seja: T(0,0) = -415, De acordo com a matriz de quantização JPEG, o valor correspondente é Z(0,0) = 16. Sendo assim, o cálculo do novo valor, quantizado, será:

96 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização O principal resultado da quantização é a geração de uma matriz esparssa -26-3-622000 1-2-400000 -3150000 -4120000 00000000 00000000 00000000 00000000

97 Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização O que permite algum tipo de codificação eficiente: -26-3-622000 1-2-400000 -3150000 -4120000 00000000 00000000 00000000 00000000 [-26 -3 1 -3 -2 -6 2 -4 1 -4 1 1 5 0 2 0 -1 2 0 0 0 0 -1 -1 EOB] Mais de 60% de Compressão no Bloco

98 Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 1, Descodificação -26-3-622000 1-2-400000 -3150000 -4120000 00000000 00000000 00000000 00000000 [-26 -3 1 -3 -2 -6 2 -4 1 -4 1 1 5 0 2 0 -1 2 0 0 0 0 -1 -1 EOB]

99 Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 2, Desquantização -416-33-603248000 12-24-5600000 -421380-24-40000 -561744-290000 180000000 00000000 00000000 00000000 A desquantização pode ser obtida pela inversa:

100 Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 3, cálculo da DCT Infersa -70-64-61-64-69-66-58-50 -72-73-61-39-30-40-54-59 -68-78-58-913-12-48-64 -59-77-57022-13-51-60 -54-75-64-23-13-44-63-56 -52-71-72-54 -71 -54 -45-59-70-68-67 -61-50 -35-47-61-66-60-48-44

101 Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 4, Shifting de 128 5864676459627078 5655678998887469 6050701191411168064 6951711281491157768 745364105115846572 765756747557 74 8369596061 6778 93816762698084

102 Computer Vision Descompressão JPEG Diferença entre a Imagem (Bloco) original e o descomprimido -6-9-6211-6-5 74111-3-53 29-2-6-3-12-149 -670-4-5-9-71 841143-2 384-421111 225-60-25 -6-226-4 -610 < 1% de erro