ÂNGULOS 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’

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1 ÂNGULOS 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’
53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’

2 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo agudo:   90º Ângulo reto:  = 90º  > 90º Ângulo obtuso: Ângulo raso:  = 180º

3 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo nulo:  = 0o (lados coincidentes)  = 360o Ângulo de 1 volta: Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Ângulos adjacentes: Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum. Ângulos consecutivos:

4 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
  Ângulos complementares:  +  = 90º    +  = 180º Ângulos suplementares: Ângulos replementares:    +  = 360º

5 3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
b c d e f g h t Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.

6 Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45o b) 48o 30’ c) 56o 15’ d) 60o e) 78o 45’

7 Questão 3: Solução: 630º 8 6º 78º 360º 8 0 45’
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. 630º 8 6º º x 60’ 360º 8 ’

8 Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 +  vale: 225o 195o 215o 1750 1850

9 Questão 13: Solução: = 45º  = 60º 15º 30º 30º 60º 60º

10 Questão 16: (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede: 50o 60o 70o 75o 80o

11 Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 50º 130º 80º 25º 75º

12 POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO

13 2) SOMA DOS ÂNGULOS Si = (n – 2).180o n = 3 1 x 180º Si = 180º

14 2) SOMA DOS ÂNGULOS       Se = 360o

15 3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados:

16 Questão 2: (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: 90o 120o 144o 154o 180o

17 Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – D
180º – A – C 180º – B – E 180 – A – C – B – D – C – E – A – D – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º

18 Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:  11 12 10 15 18

19 Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: Então: n – 3 = 9 n = 12

20 Questão 6: No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 100o 110o 120o 130o 140o

21 Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x = (6 – 2).180 5x = 720 5x = 200 x = 40 x 4x

22 Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x = (6 – 2).180 5x = 720 5x = 200 x = 40  20º 80º = 360 = 100º

23 Questão 8: Na figura seguinte, o valor de  é: a) 90o b) 95o c) 100o
d) 110o e) 120o

24 Questão 8: Solução: 75º 110º

25 TRIÂNGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. a b c b - c  a  b + c

26 2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

27 2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B C P

28 2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

29 2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.
OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

30 2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

31 2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.

32 2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

33 2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

34 2) ELEMENTOS

35 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

36 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
2 cm 3 cm 4,5 cm 45o 60o 2 cm 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm

37 4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
B C a b c m n h b2 = a.m c2 = a.n h2 = m.n a.h = b.c a2 = b2 + c2

38 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. A B C b a c m n h a2 = b2 + c2 - 2c.m

39 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. a2 = b2 + c2 + 2c.n m C A B a b c h n

40 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
B C hipotenusa cateto oposto cateto adjacente 

41 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen cos tg 30o 45o 60o

42 7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

43 8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA

44 Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo , – 1 e : a) é isósceles b) é retângulo c) tem área – 1 d) tem perímetro e) é acutângulo

45 Solução: O triângulo é retângulo.

46 Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)

47 Questão 4 2,4 – x 2,5m x x 0,70m

48 Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. Solução: 6 6 8 x 8 8

49 Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o

50 OBSERVAÇÃO: x +  =  +   =  +  x +  =  +  +  x = 2.  x  

51 Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o X

52 Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? X 43 41 40 44 42

53 Questão 17 (UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: 5 e 13 6 e 12 7 e 11 8 e 10 9 e 9

54 Solução: x + y = 10 4 4 x 4 4 y 8 x = 8 e y = 2 Os lados valem 6cm e 12cm

55 Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

56 OBSERVAÇÃO: 30o cat. oposto hipotenusa cat. adjacente

57 OBSERVAÇÃO: 8 10 4 5 30o 30o 4. 3 5. 3 12 14 6 7 30o 30o 6. 3 7. 3

58 Solução: 2 2 .3 = 6 2. 2 30o 45o

59 Questão 19 (UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.

60 Solução: A C B M 6 3 2 4 P 60o x

61 Questão 20 (UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. 15o 20o 30o 40o 50o

62 OBSERVAÇÃO:   

63 Solução: 50o 60o 40o 20o 20o 60o 80o