Redução.

Apresentação em tema: "Redução."— Transcrição da apresentação:

1 Redução

2 Problema é redutível ao problema
Se, quando podemos resolver o problema , então podemos também resolver o problema

3 Problema é redutível ao problema
Se é decidível então é decidível Se é não decidível então é não decidível

4 Exemplo: o problema da parada é redutível ao problema de entrada em um estado

5 Problema de entrada em um estado
Entradas: Máquina de Turing Estado String Questão: entra no estado quando executa sobre ?

6 Teorema: O problema de entrada em um estado é não decidível Prova: Reduza o problema da parada ao problema de entrada em um estado

7 Suponha que temos um algoritmo (MT)
que resolve o problema de entrada em um estado Vamos construir um algoritmo que resolve o problema da parada

8 Suponha que temos um algoritmo que resolve
o problema de entrada em um estado: SIM entra Algoritmo para o problema de entrada em um dado estado NÃO não entra

9 Queremos projetar um algoritmo:
SIM pára sobre Algoritmo para o problema da parada NÃO não pára sobre

10 Modifique a máquina de entrada :
Adicione um novo estado A partir de qualquer estado de parada adicione transições para estado de parada único estados de parada

11 pára se e somente se pára entra no estado

12 Algoritmo para o problema da parada:
Entradas: máquina e string 1. Construa a máquina com estado 2. Execute o algoritmo para o problema de entrada em um estado, com as entradas: , , ,

13 Algoritmo para o problema da parada
SIM SIM algorimo p/ entrada em estado Gera NÃO NÃO

14 Reduzimos o problema da parada ao problema de entrada em um estado
Como o problema da parada é não decidível, então o problema de entrada em estado é também não decidível Fim da Prova

15 Outro exemplo: o problema da parada é redutível ao problema da parada com a fita em branco

16 O problema da parada com a fita em branco
Entrada: Máquina de Turing Questão: pára quando executada tendo como entrada a fita em branco?

17 Teorema: O problema da parada com a fita em branco é não decidível Prova: Reduza o problema da parada ao problema da parada com a fita em branco

18 Suponha que temos um algoritmo para
o problema da parada com a fita em branco Vamos construir um algoritmo para o problema da parada

19 Suponha que temos um algoritmo para
o problema da parada com a fita em branco: pára sobre a fita em branco SIM Algoritmo para parada com a fita em branco não pára sobre a fita em branco NÃO

20 Queremos projetar um algoritmo para
resolver o problema da parada: SIM pára sobre Algoritmo para o problema da parada NÃO não pára sobre

21 Construa uma nova máquina
Sobre a fita escreva Então continue a execução como passo 1 passo 2 se fita em branco execute então escreva com entrada

22 pára sobre a entrada se e somente se pára quando executada com a fita em branco

23 Algoritmo para o problema da parada:
Entradas: máquina e string 1. Construa 2. Execute o algoritmo para o problema da parada com a fita em branco com entrada

24 Algoritmo para o problema da parada
SIM SIM algoritmo p/ parada com fita em branco Gera NÃO NÃO

25 Reduzimos o problema da parada
ao problema da parada com fita em branco Como o problema da parada é não decidível, o problema da parada com a fita em branco é também não decidível Fim da Prova

26 Resumo de Problemas Não Decidíveis
Problema da Parada: Máquina pára sobre a entrada ? Problema de pertinência: Máquina aceita o string ? Em outras palavras: O string é elemento de uma linguagem recursivamente enumerável ?

27 Problema da parada com a fita em branco:
Máquina pára quando executada sobre a fita em branco? Em outras palavras: O string vazio é elemento de uma linguagem recursivamente enumerável ? Problema de entrada em um dado estado: Máquina entra em um estado quando executada sobre a entrada ?

28 Funções Não Computáveis

29 Funções Não Computáveis
Contra- domínio Domínio Uma função é não computável se ela não pode ser computada para todo o seu domínio

30 Uma função não computável:
número máximo de passos até que uma máquina de Turing com estados páre quando executada sobre a fita em branco

31 Teorema: A função é não computável Prova: Suponha, por contradição, que seja computável Então o problema da parada para a fita em branco é decidível

32 Algoritmo para a parada com fita em branco:
Entrada: máquina 1. Conte os estados de : 2. Compute 3. Simule por passos começando com a fita em branco Se pára enão retorne SIM caso contrário retorne NÃO

33 Portanto, o problema da parada com fita
em branco é decidível Entretanto, já provamos que o problema da parada com fita em branco é não decidível Contradição!!!

34 Portanto, a função é não computável
Fim da Prova

35 Teorema de Rice

36 Definição: Propriedades não triviais de linguagens recursivamente enumeráveis: qualquer propriedade de alguma (não todas) as linguagens recursivamente enumeráveis

37 Algumas propriedades não triviais de
linguagens recursivamente enumeráveis: é vazia é finita contém dois strings diferentes com o mesmo comprimento

38 Teorema de Rice: Qualquer propriedade não trivial de uma linguagem recursivamente enumerável é não decidível

39 Vamos provar para algumas propriedades
não triviais, sem usar o teorema de Rice

40 Teorema: Para qualquer linguagem recursivamente enumerável não é decidível determinar se é vazia Prova: Vamos reduzir o problema de pertinência a este problema

41 Seja uma máquina que aceita
Suponha que temos um algoritmo para o problema da linguagem vazia: SIM vazia Algoritmo para o problema da linguagem vazia NO não vazia

42 Vamos construir um algoritmo para
o problema de pertinência: SIM aceita Algoritmo para o problema de pertinência NÃO rejeita

43 Primeiro construa a máquina :
Quando entra em um estado final, compare a entrada original com Aceite se a entrada original é igual ao string

44 se e somente se é não vazia

45 Algoritmo para o problema de pertinência:
Entradas: máquina e string 1. Construa 2. Determine se é vazia SIM: então NÃO: então

46 Algoritmo de pertinência
NÃO SIM verifique se construa SIM é vazia NÃO Fim da Prova