Limite Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende

Apresentação em tema: "Limite Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende"— Transcrição da apresentação:

1 Limite Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende
Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva

2 A ideia intuitiva de limite
O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.

3 A função f: R -> R, definida por, f(x) = x², por exemplo, não tem restrições em seu domínio.

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7 Observamos que quando o lado do quadrado tende a zero (l -> 0) , a área também tende a zero (A -> 0) sendo este o valor limite dessa aproximação. Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma: ou

8 Limite de A, quando x tende a zero é zero, ou
Lê-se: Limite de A, quando x tende a zero é zero, ou Limite de l² , quando x tende a zero é zero.

9 Essa mesma análise pode ser feita com a função f(x) = x², basta fazer os valores de x se aproximarem de zero e observar o que acontece com a função. A função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos

10 x se aproxima de zero pela esquerda x se aproxima de zero pela direita
Por isso podemos fazer x se aproximar de zero, por qualquer um dos lados, ou seja, pela esquerda ou pela direita. x se aproxima de zero pela esquerda x se aproxima de zero pela direita ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre menores que zero ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre maiores que zero.

11 Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².
x se aproxima de zero pela esquerda Quando x tende a zero pela esquerda f(x) tende a zero x f(x) = x² - 2 4 - 1 1 - 0,5 0,25 - 0,25 0,0625 - 0,05 0,0025

12 Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².
x se aproxima de zero pela direita Quando x tende a zero pela direita f(x) tende a zero x f(x) = x² 2 4 1 1 0,5 0,25 0,25 0,0625 0,05 0,0025

13 Observamos que quando x -> 0, y -> 0 , tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado. Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma: ou

14 ou Lê-se: Limite de f(x), quando x tende a zero é zero, ou
Limite de x² , quando x tende a zero é zero.

15 Definição de limite – um ponto de vista informal
Dada uma função f, se tomarmos valores de x tão próximos de b quanto quisermos e f(x) se aproximar cada vez mais de um valor L, dizemos que: Observação: O fato de Não implica na função estar definida no ponto b. ou

16 Exemplo 1: Seja a função

17 Portanto, trata-se de um limite infinito.
Não existe um número L que é limite da função f(x), pois essa cresce sem cota quando x se aproxima de 0. Portanto, trata-se de um limite infinito.

18 Limites laterais

19 Anteriormente para a função f(x) = x^2, mostramos que:
Quando x se aproxima de 0 pela direita, observamos que f(x) também se aproximava de 0. E quando x se aproxima de 0 pela esquerda, observamos que f(x) também se aproximava de 0. Podemos denotar essas situações da seguinte forma:

20 Definição: Limites laterais

21 Limite bilateral

22 Vimos anteriormente que para a função

23 Como Dizemos que é bilateral

24 Definição: Limite bilateral
Então, é um limite bilateral

25 Existência de um limite
Dizemos que o limite bilateral de uma função em um ponto b existe, se e somente se, os limites laterais existem e são iguais. Existência de um limite

26 Vejamos um exemplo... Os limites laterais existem, mas são diferentes.
Explique por que não existe

27 Cálculo de limites e técnicas de determinação

28 Como calcular o seguinte limite?
Observe que bastava substituir o valor x=5 na função f(x)=x²-4x+3 Logo, lim p(x) = p(5)

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30 Para qualquer polinômio temos que

31 Determine o lim 5x = 4 O método utilizado no último exemplo não funciona para funções racionais em que o denominador é nulo.

32 Há dois casos a considerar:
sendo

33 sendo O limite pode ser pela direita e pela esquerda ou vice-versa.

34 Vejamos alguns exemplos...

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37 Há dois casos a considerar:
sendo

38 Função racional

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43 Limites infinitos

44 F(x) cresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

45 F(x) decresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

46 Vejamos alguns exemplos...

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