Modelagem Estatística

Apresentação em tema: "Modelagem Estatística"— Transcrição da apresentação:

1 Modelagem Estatística
Regressão

2 Regressão Estudo da forma do relacionamento entre variáveis quantitativas. Exemplos: Peso e altura. Renda familiar e número de filhos. Renda e consumo. Volume de produção e custos. Risco e rentabilidade de ações. Gastos com prevenção de defeitos e falhas nos produtos.

3 Regressão - Objetivos Predizer (estimar) uma variável dependente (Y) em função de uma variável independente (X). Conhecer o quanto variações de X podem afetar Y.

4 Variável independente,
Exemplos Variável independente, X Variável dependente, Y Temperatura do forno (0C) Resistência mecânica da cerâmica (MPa) Quantidade de aditivo (%) Octanagem da gasolina Renda (R$) Consumo (R$) Memória RAM do computador (Gb) Tempo de resposta do sistema (s) Área construída do imóvel (m2) Preço do imóvel (R$)

5 Exemplo de Regressão A Agência Meteorológica Japonesa ganhou o prêmio IgNobel de Física (1994) por causa de um estudo de sete anos verificando se terremotos são causados por peixes (catfish) balançando seus rabos.

6 Exemplo 11.2: Resultados de n = 6 ensaios experimentais: X Y 1 80,5 2 81,6 3 82,1 4 83,7 5 83,9 6 85,0 X = % de aditivo Y = Índice de octanagem da gasolina

7 Exemplo 11.2:

8 Regressão - Modelo Regressão Linear Simples Parâmetros Y =
Predito por X, se- gundo uma função Efeito aleatório + Regressão Linear Simples Parâmetros

9 Modelo de regressão linear simples
Em termos das variáveis: Em termos dos dados: Yi =  + xi + i Suposições: os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes; E{i} = 0; V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n).

10 Pressupostos Para qualquer valor de xi, os erros (ei) são independentes e variam aleatoriamente segundo uma distribuição (normal) com média zero e variância constante.

11 Método dos Mínimos Quadrados
reta de regressão estimada: Y y = a +b.x ^ ponto i yi O método dos míni-mos quadrados sele-ciona os valores de a e b de tal forma que o somatório dos quadrados dos erros (ei2) é minimizado. ei yi ^ xi X

12 Método dos mínimos quadrados para estimar  e 
Minimizar em relação a  e  : yi xi i

13 Método dos mínimos quadrados para estimar  e 
Resultado das derivadas parciais: Estimativa de : Estimativa de  : Reta de regressão construída com os dados:

14 Exemplo tempo de reação a certo estímulo idade

15 Regressão Linear Simples
diagrama de dispersão

16 Regressão Linear Simples
reta de regressão estimada y = 80,5 + 0,9x ^

17 Teste para o Parâmetro 
Ho:  = o H1:  = o Distribuição de referência: t de Student, com (n-2) graus de liberdade. Estatística: Valor especificado pelo pesquisador t = (a - o) Sa  (yi - a - bxi)2 n - 2 ( 1 n + X2  (xi - )2 X ) Sa =

18 Teste para o Parâmetro b
Ho: b = bo H1: b = bo Distribuição de referência: t de Student, com (n-2) graus de liberdade. Estatística: Valor especificado pelo pesquisador t = (b - o) Sb  (yi - a - bxi)2 (n - 2) [  (xi - )2 ] X Sb =

19 Qualidade do ajuste Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste? análise de variância do modelo análise dos resíduos

20 Reta de regressão e resíduos
Valores preditos: yi xi ei Resíduos:

21 Análise de variância do modelo
Desvio em relação à média aritmética: yi di ei Desvio em relação à reta de regressão (resíduo da regressão): xi

22 Somas de quadrados = + SQT variação total SQR variação explicada
pela equação de regressão SQE variação não explicada

23 Somas de quadrados Coeficiente de determinação:

24 Medida da qualidade do ajuste:
Coeficiente de determinação (R2) R2 = Variação total explicada =  (yi - y)2 ^ Matematicamente, R é o quadrado do Coef. de Correlação de Pearson. 0  R2  1

25 Teste de significância do modelo
H0:  = e H1:   0 Distribuição de referência para a razão f : distribuição F com gl = 1 no numerador e gl = n – 2 no denominador.

26 Análise da Variância r2 = 0,59
fonte de somas de quadrados razão nível de variação quadrados GL médios F probab. Regressão , , , ,000077 Residuo , ,2778 Total ,000 r2 = 0,59

27 Regressão Linear Simples
reta de regressão estimada y = 80,5 + 0,9x ^ r2 = 0,59

28 Suposições do modelo Modelo: Yi =  + xi + i
os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes; E{i} = 0; V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n). x E{Y}= +x y

29 Exercício Analisar cada conjunto de dados (X,Y)

30 Análise dos resíduos: um diagnóstico das suposições do modelo
Valores preditos: yi xi ei Resíduos:

31 Análise dos resíduos e x Gráfico dos dados: (xi, yi)
Gráfico dos resíduos: (xi, ei) As suposições do modelo parecem satisfeitas?

32 Análise dos resíduos Gráfico dos dados: (xi, yi) Gráfico dos resíduos:
(xi, ei) resíduo x As suposições do modelo parecem satisfeitas?

33 Análise dos resíduos Gráfico dos dados: (xi, yi) Gráfico dos resíduos:
x Gráfico dos dados: (xi, yi) Gráfico dos resíduos: (xi, ei) As suposições do modelo parecem satisfeitas?

34 Gráfico dos resíduos: (xi, ei)
Análise dos resíduos resíduo x Gráfico dos resíduos: (xi, ei) As suposições do modelo parecem satisfeitas?

35 Análise dos resíduos Gráfico dos dados: (xi, yi) Gráfico dos resíduos:
x Gráfico dos dados: (xi, yi) Gráfico dos resíduos: (xi, ei) As suposições do modelo parecem satisfeitas?

36 Regressão Modelos Linearizáveis
log(x) y y x y =  +  log(x) y =  + .log(x)

37 Regressão Modelos Linearizáveis
y x x log(y) y = .x log(y) = log() + log().x