DERIVADAS E DIFERENCIAIS II

Apresentação em tema: "DERIVADAS E DIFERENCIAIS II"— Transcrição da apresentação:

1 DERIVADAS E DIFERENCIAIS II
Nice Maria Americano da Costa 1

2 DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Seja Pela definição da derivada temos que calcular

3 DERIVADA DO SENO Seja Pela definição da derivada temos que Sabemos da trigonometria que diferença entre dois senos podem ser expressos como

4 DERIVADA DO CO-SENO Seja Pela definição da derivada temos que Sabemos da trigonometria que diferença entre dois co-senos podem ser expressos como

5 DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
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6 PROPRIEDADES Teorema. A derivada do produto de uma constante por uma função de x é igual ao produto da constante pela derivada da função; i. e. Demonstração usando a definição de derivada, temos 6

7 Demonstração usando a definição de derivada, temos
Teorema. A derivada da soma de um número finito de funções é a soma das derivas das funções; i. e. Demonstração usando a definição de derivada, temos 7

8 Demonstração usando a definição de derivada, temos
Teorema. A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 1a. função pela derivada da 2a. função mais o produto da 2a função pela derivada da 1a. função Demonstração usando a definição de derivada, temos 8

9 Teorema. A derivada quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo denominador é igual ao quadrado da função dada no denominador e cujo numerador é igual ao produto da função no denominador pela derivada da função no numerador menos o produto da unção no numerador pela derivada da função no denominador Demonstração: temos 9

10 DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS
Teorema. Seja y=f(x)=F(u), sendo u=  (x). Se u(x) tem uma derivada, u’(x)= x’ e y=F(u) tem uma derivada Fu’, a derivada f’(x)= Fu’ (u) x’ (x), Ou seja, a derivada de f(x) em relação a x é igual ao produto de derivada de F em relação a u pela derivada de u em relação a x. Demonstração: para o acréscimo x , temos os acréscimos correspondentes às funções Além disso, quando x 0, u 0 e y 0. Por hipótese, temos também 10

11 Pelo teorema do limite, podemos escrever,
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12 Exemplos 12

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14 DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA
Uma função implícita, y=f(x), é aquela que satisfaz a uma equação da forma F(x,y)=0. Exemplos: Note que nem sempre é possível resolver a equação para y, como no primeiro caso. Podemos, entretanto calcular a derivada usando a regra da função composta. 14

15 DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS
Toda funções crescente, ou decrescente, admite uma função inversa. I. e., dado y=f(x) é possível determinar a função que expressa x em função de y, ou x= (y). Teorema: Se a função y=f(x0 admite uma inversa, x=(y), cuja derivada ’(y), em um ponto dado é diferente de zero, então a função y=f(x) possui no ponto x correspondente uma derivada f’(x) igual ao inverso da ’(y), I.e: 15

16 Demonstração: Se por hipótese:
derivando a segunda expressão em relação a x, usando a regra da cadeia,temos: 16

17 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS
y=arc cosx y=arc senx 17

18 y=arc tgx y=arc cotx 18

19 FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
Função Paramétrica Sejam duas funções da variável t (o tempo, por exemplo), x=(t)e y=(t). Se x e y representam as coordenadas de um ponto no plano, a cada instante t, teremos um ponto no plano. Quando t varia no intervalo, T1<t<T2, o ponto (x,y) descreve uma curva no plano. As funções dadas são chamadas de equação paramétrica desta curva. E t é o parâmetro. x(t1) x(t2) x y (x(t),y(t)) y(t1) y(t2) 19

20 Lançamento horizontal
y vh y0 (x(t),y(t)) x 20

21 DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
Dadas as formas paramétricas, x=(t) e y=(t), de uma curva, isto é, as equações paramétricas da função y de x, é possível calcular a derivada dessa função, yx’. Se a função x=(t) admite uma inversa, isto é, podemos expressar t como uma função de x, t=(x), então a função y=(t), pode ser expressa como Temos então uma função composta. Podemos aplicar a regra da derivada: 21

22 Lançamento horizontal
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