Professor  Neilton Satel

Apresentação em tema: "Professor  Neilton Satel"— Transcrição da apresentação:

1 Professor  Neilton Satel
Aula de Matemática Professor  Neilton Satel 25 de outubro de 2011 CONTEÚDO DA AULA: Geometria analítica

2 “Ensinar é um exercício de imortalidade
“Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais...” (Rubem Alves,1999).”

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BOA AULA

4 Apolônio de Pérgamo (262 - 190 a. C
Apolônio de Pérgamo ( a.C.) nasceu em Pérgamo, na Ásia Menor e viveu em Alexandria nos fins do século III a.C..Foi contemporâneo de Arquimedes e é unanimemente considerado como um dos mais originais e profundos matemáticos de sempre. A sua obra mais famosa é o Tratado sobre as cónicas (o primeiro estudo sistemático das cônicas), aí definidas como secções de um cone de base circular e designadas por elipse, parábola e hipérbole.  Dos oito livros do tratado, apenas um se perdeu, representando esta obra, segundo alguns autores, o ponto máximo alcançado pela matemática grega. É motivo de admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo aos métodos puramente geométricos de Euclides.

5 MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
y + 2x – 2 = 0 y – x – 2 = 0 y + 2x + 2 = 0 y –2x – 2 = 0 y – 2x + 2 = 0 ( Multiplicando toda a equação por –2 ) Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0

6 Questão 43 página 243 a) Escreva as equações reduzidas das retas que contêm as diagonais do quadrado ABCD dado no sistema cartesiano ao lado.

7 Questão 43 página 243 b) Compare os coeficientes angulares dessas retas.

8 03. Encontre a equação da reta que passa nos pontos A=(0,1) e B = (2 ,5).

9 03. Construir usando o GEOGEBRA, o gráfico da função f(x) = 2x +1.

10 No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

11 No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

12 No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

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14 MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
y + 2x – 2 = 0 y – x – 2 = 0 y + 2x + 2 = 0 y –2x – 2 = 0 y – 2x + 2 = 0 ( Multiplicando toda a equação por –2 ) Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0

15 EXERCÍCIO 02: Vamos determinar a distância entre
os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

16 EXERCÍCIO 03: Calcule o ponto médio entre os
pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4). SOLUÇÃO DA QUESTÃO

17 3 – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

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19 Vamos calcular a área do triângulo amarelo pela diferença entre a área do retângulo azul e os outros três triângulos na cor verde.

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22 Área do triângulo:

23 Podemos escrever assim
Área do triângulo:

24 EXERCÍCIO 04 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área) 2 5 3 1 2 1 A = –0.5 – 1.3 – 2.1 A = 6/2 A = 3 u. a.

25 EXERCÍCIO 05 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(2,3) e C(4,-1)?

26 2 1 -2 -1 2 3 4 RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 05
(-1) +4. (-1). –2.(-1) – 4.3 – (-2).(-1) -2 -1 2 3 4 A = 24/2 A = 12 u. a. Resp: S = 12 u.a. (12 unidades de área)

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29 RETAS Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos
Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então: Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos

30 DESENVOLVENDO, VEM: COMO: ENTÃO:

31 EQUAÇÃO GERAL DA RETA: A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: Y = ax + b Onde a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta

32 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde, a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy. O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

33  Coeficiente angular = 3
 Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

34 EXERCÍCIO 06 X Y 1 3 2 4 RESOLUÇÃO:
Vamos encotrar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). RESOLUÇÃO: Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: X Y 1 3 2 4 3x y – 1.y – 2.3 – 4x = 0 –x + y –2 = 0 Ou x – y + 2 = 0

35 EXERCÍCIO 07 Determine equação da reta que passa pelos pontos A e B na figura abaixo.

36 X Y -3 -4 -1 2 Resolução questão 07
Utilize a equação da reta (geometria analítica) dados pelos pontos: (3,5) e (6,0). – 4x – 6 – y + 3y – 4 –2x = 0 X Y -3 -4 -1 2 – 6x + 2y – 10 = 0 E finalmente a equação GERAL da Reta: 3x – y + 5 = 0 Ou  Y = 3x + 5 Ou a equação REDUZIDA da Reta:

37 EXERCÍCIO 08 PONTO DE INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pode-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0. Solução: Da equação da reta r  tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);  substituindo na equação da reta s vem: 6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0  \ y - 7y - 10 = 0 \ y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2;  substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = ( ) / 2 = 4.  Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).

38 EXERCÍCIO 09 Ponto P [ x, (3x +1) /4 ]
( Faap – SP ) Na prática de um cooper, um corredor se desloca do ponto A ( -3, - 2) até o ponto C ( 5, 4) em linha reta, tendo um repouso num ponto B. As possíveis coordenadas deste ponto B são: a)     B ( 2, 7) b)     B ( 4, 3) c)     B ( 3, 5) d)     B ( 2, 2) e) B (1 ,1) DICA: encontre a equação da reta -2x – y - (-3)y- 5(-2) - 4x = 0 X Y -3 -2 5 4 -6x + 8 y –2 = 0 Y = (6x + 2) / 8 Ponto P [ x, (3x +1) /4 ] Y = (3x + 1) / 4

39 EQUAÇÃO GERAL DA RETA: A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta

40 Para refletir página 12 Verifique que aa´ + bb´ = 0 e mr. ms = - 1 (retas perpendiculares)

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51 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)

52 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)

53 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra b) Para refletir página 12 Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

54 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra c) Para refletir página 12 Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

55 Conferindo na calculadora:
Com isto o ângulo obtido será 29,74º

56 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d) Para refletir página 12 Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

57 Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d)

58 02. (FGV-SP) A reta perpendicular à reta r: 2x – y = 5, e passando pelo ponto P(1, 2), intercepta o eixo das abscissas no ponto:

59 03. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4)
03. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4). A equação da reta s é: a) x + 2y = 6 b) y + 2x = 6 c) y + 2x = 0 d) 2y - x = -10 e) x - 2y + 10 = 0

60 04. (FGV-RJ) No plano cartesiano, a reta r é definida por r = {(t + 6; 3t + 1) | t   R}, e a reta s tem equação 2x – y = 7. A abscissa do ponto de interseção dessas retas é: a) 10 b) 12 c) 14  d) 15 e) 16 Resposta A