FORMA NORMAL BSI Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto

Apresentação em tema: "FORMA NORMAL BSI Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto"— Transcrição da apresentação:

1 FORMA NORMAL BSI Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto
Rodrigo Cirino Andrade Vagner Vengue

2 FORMA NORMAL Uma fórmula normal são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido. 2 principais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva, exemplos: H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V). G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).

3 FNC - Forma Normal Conjuntiva (Clausal)
PROLOG – inferência resolução; Elemento Básico: Literal (p ou ¬p); Cláusula = disjunção (V) de literais - L1 V L2 V ... Ln (exemplo: p V q) LEIS DE MORGAN Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ ¬ (X Λ Y) Eliminação da dupla negação: ¬¬ X Distributividade de V sobre Λ: X V (Y Λ Z) Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 4 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X1 Λ X2), que poderá gerar uma nova duplicação. (¬X V Y) X Λ ¬Y ¬X V ¬Y X (X V Y) Λ (X V Z)

4 TABELAS VERDADE - LEIS (X → Y) (¬X V Y) ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y
1 ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y X ¬X Y ¬Y X V Y ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y 1 ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y X ¬X Y ¬Y X Λ Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 1

5 TABELAS VERDADE - LEIS ¬¬ X X X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) X ¬X ¬¬X 1
1 X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) X Y Z Y Λ Z X V (Y Λ Z) X V Y X V Z (X V Y) Λ (X V Z) 1

6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS
Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) (¬X V Y) Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X Inserção de novo átomo p: X V (Y Λ Z) (X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p) Repare no conectivo de conjunção Λ:

7 Estudo p ↔ (Y Λ Z) Introduzido p, onde p ↔ (Y Λ Z) (↔ = bi-implicação) 1. Desmembrando ↔ em dois (desmembrando p ↔ (Y Λ Z) ): (p → (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z → p) 2. Eliminando “→”, aplicando a redefinição de “→” em termos de “V” e “¬” (X → Y) (¬X V Y): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p) 3. Leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p). O 2º elemento esta já está no FNC, no 1º elemento aplicado a distribuição de V sobre Λ: 2 3

8 VANTAGEM FNC Representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula. Por exemplo, para satisfazer a fórmula (¬p V Y) Λ (¬p V Z): VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) E para falsificá-la: p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z) 1 p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z) 1

9 CONVERSÃO COM TABELAS VERDADE
Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é: TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) As linhas que interpretam (I) a fórmula (P → Q) Λ R como Falsa são as linhas 2,3,4,6 e 8. De acordo com a linha 2, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=F}, na elaboração da FNC I[P] = T, considera-se ¬P e I[R] = F, considera- se R (I = interpretação). Assim: 2ª linha: ¬P V ¬Q V R 3ª linha: ¬P V Q V ¬R 4ª linha: ¬P V Q V R 6ª linha: P V ¬Q V R 8ª linha: P V Q V R A FNC de (P → Q) Λ R é: (¬P V ¬Q V R) Λ (¬P V Q V ¬R) Λ (¬P V Q V R) Λ (P V ¬Q V R) Λ (P V Q V R) Linhas P Q R (P → Q) Λ R 1 T 2 F 3 4 5 6 7 8

10 CLÁUSULAS DE HORN As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo. Exemplo: ¬ p V ¬ q V. . . V r Tipos de cláusulas: Fatos Regras Consultas ou Restrições

11 FATOS Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido. Exemplos: { p }, { q }, { r }

12 REGRAS Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo. Exemplos: ¬ p V ¬ q V r ¬ r V s ¬ A V b

13 CONSULTAS OU RESTRIÇÕES
Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos. Exemplos: ¬ p V ¬ q V ¬ r ¬ r V ¬ s ¬ (p Λ q Λ r)

14 FÓRMULAS DE HORN Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva. Exemplos: (¬ p V q) Λ (r V ¬ s) Λ (a V ¬a) Λ (a V ¬b) (¬ r V B) Λ (A V ¬ g) (p) Λ (¬ r V s)

15 CLÁUSULAS DE HORN E RESOLUÇÃO
Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução: Duas cláusulas de Horn inferem uma nova cláusula de Horn: R V p ¬ p V S ______________________________ R V S Sendo uma das bases para programação lógica.

16 Forma Normal Disjuntiva (FND)
Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais. Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de: A1 Λ A2 Λ...Λ An

17 Metodos de resolução. Toda fórmula proposicional podemos transformar em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como : Lei da Dupla Negação Leis de Morgan, e Distributividade de átomos.

18 A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. Repare que a disjunção também é comutativa:

19 «Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M
Veja essas proposições: Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M ) Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M ) Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples: «Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M Logo sabemos que há: A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V). A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)

20 Exemplos de forma normal disjuntiva: Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND: — NÃO é o operador mais extremo — um OU está aninhado com um E

21 De acordo com o que vemos nas leis de Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos: ¬(P Λ Q) <-> (¬P V ¬Q) Podemos aferir o contrário pela bi-implicação, obtendo uma formula disjuntiva: (¬P V ¬Q) <-> ¬(P Λ Q)

22 Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é : Apartir das três linhas (1, 5 e 7), obtêm-se: P Λ Q Λ R, ¬P Λ Q Λ R e ¬P Λ ¬Q Λ R Convertendo a fórmula (P → Q) Λ R em FND, fica: (P Λ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ R) V (¬P Λ ¬Q Λ R).

23 TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS
Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FND, B ≡ A. 1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça 2: Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) (¬X V Y) 3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan: ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X 5: distributividade de Λ sobre V : X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z) 6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Repare no conectivo de disjunção V: X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)

24 CONCLUSÃO FORMAS NORMAIS Conjuntiva: (X V Y) Λ (X V Z) Disjuntiva:
(X Λ Y) V (X Λ Z) CLÁUSULAS DE HORN {P V ¬q}, {¬ r V s}, {¬ Y V ¬ X V z}