RELAÇÕES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.

Apresentação em tema: "RELAÇÕES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS."— Transcrição da apresentação:

1 RELAÇÕES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

2 Secante Define-se secante de um ângulo de medida x, e denota-se por
sec x, a razão: sec x = , para cos x ≠ 0. Exemplos sec 45º = = b) sec = =

3 Cossecante Define-se cossecante de um ângulo de medida x, e denota-se por cossec x, a razão: cossec x = , para sen x ≠ 0 Exemplos a) cossec 120º = b)

4 Cotangente Define-se cotangente de um ângulo de medida x, e denota-se por cotg x, a razão: cotg x = , para sen x ≠ 0  Exemplos a) cotg 135o = = b) cotg = =

5 EXERCÍCIOS 1. Sabendo que cos x = e que < x < 2, calcular:
a) sen x b) tg x c) sec x d) cossec x e) cotg x Resolução a) sen2 x + cos2 x = 1  sen2 x = 1  sen2 x = 1 –   sen2 x =   b)

6 1. Resolução c) d) e)

7 Relações fundamentais na Trigonometria
Vimos até agora cinco relações importantes na Trigonometria:

8 Relações fundamentais na Trigonometria
Realizando algumas operações, podemos determinar três relações a partir dessas: tg2 x + 1 = sec2 x, com cos x ≠ 0 1 + cotg2 x = cossec2 x, com sen x ≠ 0 cotg x = , com sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0

9 EXERCÍCIOS 2. Simplificar a expressão . Resolução
Aplicando as relações cotg x = , cossec x = e sen2 x + cos2 x = 1, temos: Portanto: 

10 EXERCÍCIOS 3. Sabendo que , calcular o valor de: Resolução
Aplicando as relações estudadas, e considerando x ∈ QI, temos: e

11 3. Resolução Portanto: Logo, o valor de y é: 

12 Relações para arcos complementares
Dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas é .

13 Equações trigonométricas
Vamos resolver a equação sen x = , sendo U = ℝ.  Tomando o intervalo [0, 2], os arcos cujo seno vale são ou . Logo, no universo real, temos: Então, o conjunto solução é: 

14 EXERCÍCIOS b) Agora, vamos determinar x tal que sen x = sen , sendo U = ℝ.  Temos: sen = = sen Assim, no universo real: Então, o conjunto solução é: 

15 EXERCÍCIOS c) Vamos obter x tal que , sendo U = ℝ. Assim, temos:
No intervalo [0, 2p], os arcos cujo cosseno vale são ou Assim, temos: Então, o conjunto solução é:

16 EXERCÍCIOS Lembrando que cos (a) = cos (–a), temos:
d) Vamos resolver a equação para U = ℝ.  Lembrando que cos (a) = cos (–a), temos: Assim, no intervalo [0, 2], o arco tem cosseno igual a cos . Então, considerando o universo real: Logo, o conjunto solução da equação é:

17 EXERCÍCIOS e) Vamos resolver a equação tg 2x = 1.
Os arcos cuja tangente vale 1, considerando a primeira volta no ciclo trigonométrico, são e Quando o conjunto universo não é mencionado, convencionamos que U = ℝ. Considerando então o conjunto universo real, temos: Assim, o conjunto solução é: 

18 sen3 x – sen x = 0 ⇒ sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0
EXERCÍCIOS f) Resolver a equação sen3 x – sen x = 0.  Resolução Colocando o fator comum sen x em evidência, temos: sen3 x – sen x = 0 ⇒ sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0 Para um produto de dois fatores ser igual a zero, é necessário que um dos fatores seja igual a zero. Assim: sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0 ⇒ sen x = 0 (I) ou sen2 x – 1 = 0 (II)

19 EXERCÍCIOS 4. Resolver a equação , sendo 0 ≤ x < 2p. Resolução
Então, temos: Logo:

20 f) Resolução De (I), vem: sen x = 0 ⇒ x = 0 + k ∙ p, k ∈ ℤ De (II), vem: sen2 x – 1 = 0 ⇒ sen2 x = 1 ⇒ ⇒ sen x = ±1 ⇒ x = + k ∙ p, k ∈ ℤ Logo: S = ou, escrevendo de outra forma,