A Série e a Transformada de

Apresentação em tema: "A Série e a Transformada de"— Transcrição da apresentação:

1 A Série e a Transformada de
Fourier Discretas

2 A Transformada de Fourier de seqüências periódicas
Vimos que seqüências podem ser escritas como uma soma ponderada de exponenciais complexas por meio da T.F. inversa na forma:

3 Se x[n] for uma seqüência periódica com período N, ou seja:
Observe que a freqüência angular correspondente a N é Portanto, só pode ter componentes com freqüências que sejam múltiplos inteiros de ou seja, Para K>N as freqüências começam a se repetir.

4 Pode-se escrever então:
Para tal conjunto de seqüências viu-se anteriormente que a T.F. de Fourier é formada por impulsos:

5 A expressão anterior mostra uma T. F
A expressão anterior mostra uma T.F. que contem informação redundante, uma vez que o somatório é infinito em K. Para descreve-la completamente basta conhecer o valor de N e de a0,a1,...,aN-1. Por convenção, define-se como a série de Fourier discreta da seqüência periódica:

6 Exemplo gráfico:

7 A Série Discreta de Fourier - DFS(do inglês, Discrete Fourier Series)
Os impulsos de se repetem periodicamente com período Os coeficientes da DFS se repetem periodicamente com período N.

8 Cálculo dos coeficientes:

9 Portanto:

10 Exemplo:

11 Neste Exemplo N=10.

12 Resultado Gráfico

13 Relação entre a DFS e a TF de um período de .

14 Claramente, conclui-se que:

15 Convolução Periódica

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17 A Transformada Discreta de Fourier - DFT (“Discrete Fourier Transform”)

18 Sabemos que:

19 Podemos escolher

20 Analogamente ao caso da DFS, pode-se mostrar que DFT inversa pode ser calculada por:

21 Propriedade: Deslocamento circular

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23 Situação de equivalência entre deslocamento circular e deslocamento circular.

24 Convolução Circular

25 Convolução Circular: Definição

26 Cálculo da saída de SLID através da DFT

27 A Transformada Rápida de Fourier - FFT (“Fast Fourier Transform”) - Dizimação no tempo.

28 Dizimação no Tempo: implementação do primeiro estágio

29 FFT: Segundo estágio -

30 FFT: terceiro estágio -

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35 Implementação da convolução linear: superposição com soma.

36 Implementação da convolução linear: superposição com armazenagem.

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