AULA 02 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA

Apresentação em tema: "AULA 02 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA"— Transcrição da apresentação:

1 AULA 02 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA
MÉTODO BRANCH-AND-BOUND

2 INTRODUÇÃO Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear; Todas, ou parte, das variáveis de decisão devem ser inteiras; Importante se ter mente o grau de dificuldade associado à sua solução;

3 INTRODUÇÃO Não quer dizer que problemas que exijam computadores com alta capacidade; Mesmo que a solução ótima não seja encontrada, é possível obter boas soluções viáveis ; E mostrar quão próximo da solução ótima podem estar;

4 INTRODUÇÃO Um problema de programação linear inteira pode apresentar as seguintes situações: Problemas de Programação Linear Inteira Pura – PLIP; Problemas de Programação Linear Inteira Mista – PLIM; Problemas de Programação Linear Inteira Binária – PLIB; Problemas de Programação Linear Inteira Binária Mista – PLIBM.

5 FORMAS DE RESOLUÇÃO Inicialmente, pode-se ignorar a restrição que impõe que as variáveis de decisão devam ser inteiras; Método Simplex (Software LINDO); Caso a resposta não seja um número inteiro, deve-se arredondá-la; A solução arredondada pode ser inviável ou longe da solução ótima;

6 FORMAS DE RESOLUÇÃO

7 FORMAS DE RESOLUÇÃO

8 FORMAS DE RESOLUÇÃO Outra abordagem é o método de enumeração;
Um dos maiores entraves para a aplicação deste método é de ser impraticável para problemas reais que geralmente envolvem várias variáveis de decisão;

9 FORMAS DE RESOLUÇÃO Deve-se considerar algumas observações:
O número de soluções em um problema de PLI é finito, mas isto não implica que seja fácil de resolver; Num problema de PLIB com n variáveis há 2ⁿ soluções, por isso, para alguns problemas, fica impossível enumerar todas as soluções; Os melhores algoritmos não podem garantir a solução de todos os problemas, mesmo relativamente pequenos (< 100 variáveis);

10 BRANCH-AND-BOUND Os problemas de PLIP tem quantidade finita de soluções possíveis; Considerar a utilização de um método de enumeração para encontrar o valor ótimo; A quantidade de possíveis soluções émuito grande; O método utilizado deve ser estruturado para que apenas uma parte das soluções possíveis sejam examinadas;

11 BRANCH-AND-BOUND Branch-and-Bound (particionar e limitar “as partições”); É um algoritmo que apresenta essa qualidade; Dividi-lo em sub-problemas cada vez menores, até que estes possam ser solucionados

12 BRANCH-AND-BOUND A ideia é desenvolver uma enumeração inteligente dos pontos candidatos (nós); Em busca da solução ótima inteira do problema; Por meio da partição do espaço e avaliação progressiva das soluções;

13 BRANCH-AND-BOUND A forma de divisão em problemas menores parte do princípio da separação de uma das variáveis; Utilizando-a em restrições contraditórias; Criando ramificações (a partir de um nó), como em uma árvore;

14 BRANCH-AND-BOUND A forma de divisão em problemas menores parte do princípio da separação de uma das variáveis em um problema relaxado; Utilizando-a em restrições contraditórias; Criando ramificações (a partir de um nó), como em uma árvore;

15 BRANCH-AND-BOUND Uma das formas de relaxação consiste em ignorar as restrições de integralidade do problema; A partir deste, pode-se usar para resolvê-lo o método Simplex;

16 BRANCH-AND-BOUND Se o problema relaxado não tem solução viável, então o problema de PLI também não tem; O valor mínimo do problema de PLI não é menor que o valor mínimo do problema relaxado; Se uma solução ótima do problema relaxado é viável no problema de PLI, então ela é uma solução ótima do problema de PLI;

17 BRANCH-AND-BOUND

18 BRANCH-AND-BOUND A escolha do (nó) para ramificação pode-se ser efetuada nas seguintes técnicas: Jumptracking: implementa uma busca em largura; Um nó com o mínimo limite inferior é selecionado; Backtracking: implementa a busca em profundidade; Nós descendentes de um nó pai são examinados;

19 BRANCH-AND-BOUND

20 BRANCH-AND-BOUND O problema candidato relaxado (PL) não tem solução viável; Então este nó está sondado; Os resultados dos nós filhos vão ser no melhor caso igual ao resultado do nó pai;

21 EXEMPLO

22 EXEMPLO Solução Manual (enumeração implícita) para problemas com variáveis binárias; 1ª Etapa: Função Objetivo (Maximização) Coeficientes (+) → x = 1; Coeficientes (-) → x = 0; Verificar se solução é factível; 2ª Etapa: Restrições (≤) Tentar factibilizar cada restrição; Coeficientes (+) → x = 0; Coeficientes (-) → x = 1;

23 EXEMPLO Problema relaxado pelo método Simplex; x1=0,83; x2=1; x3=0;
Z=16,5

24 EXEMPLO

25 EXEMPLO

26 EXEMPLO

27 EXEMPLO

28 EXEMPLO

29 EXEMPLO

30 EXEMPLO Para x1=1, x2=1 e x3=1 o modelo se apresenta sem soluções possíveis; Repetir esses passos para cada nó aberto

31 EXEMPLO 02

32 EXERCÍCIOS Max Z = 3X1 + X2 + 2X3 - X4 + X5 Sujeito a: