Filtros de Kalman.

Apresentação em tema: "Filtros de Kalman."— Transcrição da apresentação:

1 Filtros de Kalman

2 Motivação Acompanhamento de um fenômeno D B

3 Idéia Básica Combinar Predição, a partir dos valores passados.
Correção da predição, utilizando medições provenientes da observação do fenômeno observado previsto

4 Formulação do Problema
Processo que obedece a uma lei de evolução linear, com a presença de erros aleatórios xk= Fk xk–1 + ek, onde ek ~N(0, Qk) Medidas relacionadas com o valor real, também com erros aleatórios zk = Hk xk + mk, onde mk ~N(0, Rk)

5 Elementos do modelo xk = Fk xk–1 + ek, onde ek~ N(0, Qk)
n nn n n nn zk = Hk xk + mk, onde mk ~N(0, Rk) m mn n m mm Fk: matriz de transição Hk: matriz de medição Qk ,, Rk: matrizes de covariância

6 O Problema ^ Dada a estimativa xk–1 do estado anterior, com a respectiva matriz de covariância Pk–1 ... ... procurar uma solução da forma xk = xk + Kk(zk – Hk xk), onde xk = Fk xk–1 ... de tal modo que o valor esperado do erro quadrático (E (xk – xk)2) seja mínimo. Kk: ganho de Kalman ^ ~ ~ ~ ^ ^ ^

7 Solução Etapa de predição Etapa de correção

8 Q >> R: K = 1/H, xk = zk Q << R: K = 0, xk = xk
Comportamento do filtro depende da relação entre as matrizes de covariância Q e R (erros do processo e de medição) Q >> R: K = 1/H, xk = zk Q << R: K = 0, xk = xk Comportamento depende pouco da covariância inicial P0 ^ ~ ^

9 Exemplo: estimando um valor constante
x1, x2, ..., xn com distribuição normal de média m, observadas com ruído. Estimação sequencial de m. Modelo: xk = xk–1 + e , com e ~ N(0, s12) zk = xk + m , com m ~ N(0, s22) Comportamento depende da relação entre s12 e s22.

10 Exemplo: acompanhando um ponto
Variáveis: posição e velocidade Modelo: onde e ~N(0, Q) e m ~N(0, R)