Sistemas de Numeração.

Apresentação em tema: "Sistemas de Numeração."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Numeração

2 Objetivos da aula: Motivação Apresentar os sistemas de numeração Conversão de base Representação dos números utilizados pelos computadores Aritmética binária

3 Armazenamento de dados na memória:
A memória é a parte do computador onde programas e dados são armazenados A unidade básica de memória é o dígito binário => BIT Um bit pode conter um 0 ou um 1 A informação digital pode ser armazenada através da distinção entre valores diferentes de alguma grandeza física contínua, tal como corrente ou tensão Quanto mais valores devem ser distinguidos, menor é a separação entre valores adjacentes e menor é a confiabilidade da memória => melhor opção é o sistema binário

4 Números de precisão finita:
Quando realizamos operações aritméticas no papel não precisamos nos preocupar com a quantidade de dígitos ou casas decimais que vamos utilizar para representar os dados => nunca acontece do papel não ser suficientemente grande para armazenar o número Com computadores a situação é diferente A natureza finita do computador nos força a lidar apenas com números que podem ser representados com um número fixo de dígitos => números de precisão finita

5 Números de precisão finita:
O conjunto dos inteiros positivos representáveis por 3 dígitos decimais, sem ponto decimal e sem sinal tem 1000 elementos: 000, 001, 002,...., 999 Com esta restrição é impossível expressar vários conjuntos importantes de números: números negativos, frações, números complexos, números maiores que 999 Números de precisão finita não são fechados em relação à nenhuma das quatro operações aritméticas básicas Mesmo que i e j sejam números do conjunto entre 000 e 999 não é possível garantir que i+j, i-j, i*j e i/j serão números do conjunto entre 000 e 999

6 Números de precisão finita:
Exemplo: = 1200 (maior que 999) 003 – 005 = (menor que 000) 050 * 050 = 2500 (maior que 999) 007 / 002 = (não é inteiro) Erros onde os números são maiores que o maior número do conjunto => erro de overflow Erros onde os números são menores que o menor número do conjunto => erro de underflow Estes erros também acontecem nas operações realizadas pelo computador que utiliza o sistema binário

7 Objetivos da aula: Motivação Apresentar os sistemas de numeração Conversão de base Representação dos números utilizados pelos computadores

8 Sistemas de numeração:
Um sistema de numeração na base k requer k símbolos diferentes para representar os dígitos de 0 até k-1 Sistema decimal => 10 dígitos diferentes => base 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sistema octal => 8 dígitos diferentes => base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Sistema binário => 2 dígitos diferentes => base 2 0, 1 Sistema hexadecimal => 16 dígitos diferentes => base 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

9 Sistemas de numeração:
É possível afirmar que número 7B9 está na base hexadecimal pois aparece o dígito B que não é possível nas outras bases apresentadas Mas e o número 111? O número pode estar em qualquer base, e para evitar ambigüidades utiliza-se um subscrito indicando a base 1112, 1118, 11116, 11110

10 Objetivos da aula: Motivação Apresentar os sistemas de numeração Conversão de base Representação dos números utilizados pelos computadores

11 Conversão de base: Decimal para binário A conversão do sistema Decimal para o binário é realizada por sucessivas divisões por 2, ou seja, o número em decimal é dividido sucessivamente por 2 até que o quociente seja igual a 0 O resto da última divisão representa o dígito mais à esquerda do número binário, o resto da próxima divisão o próximo dígito, e assim por diante

12 Conversão de base: Decimal para binário 13 2 => = 11012

13 Conversão de base: Decimal para binário =

14 Conversão de base: Binário para decimal A conversão do sistema binário para o decimal é realizado através da forma polinomial: Aj-1 * 2j-1 + Aj-2 * 2j A2 * 22 + A1 * 21 + A0 * 20 Onde A = 0 ou 1 e j é o número de dígitos do número Exemplo: = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = = 2210

15 Conversão de base: Número em Decimal: 2001 2x x x x100 Octal: 3721 3x83 + 7x82 + 2x81 + 1x80 = Binário: 1x x29 + 1x28 + 1x27 + 1x26 + 0x25 + 1x24 + 0x23+ 0x22 + 0x21 + 1x20 = Hexadecimal: 7D1 7x x x160 =

16 Conversão de base: Binário – Octal – Hexadecimal Como os números representados em base 2 são muito extensos (dificultando a manipulação visual) costuma-se representar os valores binários em bases de valor mais elevado  octal ou hexadecimal Isso permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos valores

17 Conversão de base: Binário para octal Para converter um número binário para octal divide-se o número em grupos de 3 bits (começando da direita para esquerda) e converte-se para decimal = 3518 - Pode se necessário adicionar um ou dois zeros à esquerda para completar um grupo de 3 dígitos =>

18 Maior número representado em 3 bits = 7
Conversão de base: Binário para octal Maior número representado em 3 bits = 7 Binário Octal 000 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7

19 Conversão de base: Octal para binário Cada dígito octal é substituído pelo número binário de três dígitos Converte-se o grupo de 3 bits da mesma forma que a conversão de decimal para binário 4678 =

20 Conversão de base: Binário para hexadecimal Para converter um número binário para hexadecimal o processo é semelhante ao octal, entretanto divide-se o número em grupos de 4 bits (começando da direita para esquerda) E = 3E916 - Pode se necessário adicionar um ou dois zeros à esquerda para completar um grupo de 4 dígitos =>

21 Binário para hexadecimal
Conversão de base: Binário para hexadecimal Binário Octal 0000 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

22 Conversão de base: Hexadecimal para binário Na conversão de hexadecimal para binário cada dígito hexadecimal é substituído pelo número binário de quatro dígitos (semelhante ao octal) 46716 =

23 Conversão de base: Resumo Procedimentos para conversão entre sistemas de numeração: Polinômio Divisão Agrupamento de bits

24 Conversão de base: Resumo

25 Conversão de base: Conversão octal  hexadecimal Não é realizada diretamente => não há relação entre os dígitos A conversão é realizada com uma base intermediária => binária Conversão em duas etapas: 1) número original: base octal (hexadecimal) => binária. 2) resultado intermediário: binária => hexadecimal (octal) A  

26 Conversão de base: Conversão da base B para decimal Utiliza-se a regra do polinômio com a base B Exemplo: = 12310 4*52 + 4*51 + 3*50 = = 123 - Podemos utilizar a base decimal como a base intermediária para fazer a conversão de uma base A qualquer para outra base B qualquer

27 Conversão de base: Conversão decimal para base B Divide-se o número decimal pela base B para obter o quociente e o resto Divide-se o quociente obtido pela base B para obter um novo quociente e um novo resto Repete-se o processo até que o quociente seja 0 (zero) Exemplo: = (base 5) 4 0

28 Conversão de base: Conversão base A  base B Podemos utilizar a base decimal como a base intermediária para fazer a conversão de uma base A qualquer para outra base B qualquer Conversão em duas etapas: 1 – Base A para decimal 2 – Número decimal para base B - Como podemos converter 2214 para um número na base 7?

29 Conversão de base: Conversão base A  base B Base 4 – dígitos 0, 1, 2, 3 Base 7 – dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Passo 1: converter 2214 para base decimal (polinômio) 2*42 + 2*41 + 1*40 = 2*16 + 2*4 + 1*1 = = 41 Passo 2: converter 4110 para base 7 (divisão) 41 7  2214 = 567 5 0

30 Exercícios: Converta os seguintes números para base decimal: Converta os seguintes números para base binária: 1FF016 128710 7538 Converta os seguintes números de uma base A para base B: 25713 => X b) => X7

31 Converta os seguintes números para base decimal:
 43  134 Converta os seguintes números para base binária: 1FF016   7538  Converta os seguintes números de uma base A para base B: 25713 => X  = = 15226 14325 => X  = = 4647

32 Objetivos da aula: Motivação Apresentar os sistemas de numeração Conversão de base Representação dos números utilizados pelos computadores

33 Representação dos números:
As informações manipuladas pelos computadores estão na base binária (representados na forma hexadecimal) Como o computador realiza as operações aritméticas? Como os números negativos são armazenados?

34 Representação dos números inteiros:
Os números inteiros sem sinal são armazenados conforme apresentado nos slides anteriores A quantidade de números representável depende da quantidade de bits disponíveis 8 bits  1 byte Existem diferentes convenções para representar os números com sinal (positivos e negativos) A mais utilizada é a representação em complemento a dois

35 Representação em complemento a dois:
Utilizada para representar números inteiros positivos e negativos O bit mais significativo (mais à esquerda) é o bit de sinal Bit = 0 o número é positivo Bit = 1 o número é negativo O número 0 (zero) possui apenas uma representação  todos os bits em zero – considerado um número positivo

36 Referências: GUIMARÃES, A. M.; LAGES, N. A. C. Introdução à Ciência da Computação. LTC: Rio de Janeiro, 2009 [reimpressão] TANENBAUM, A. S. Organização Estruturada de Computadores, 3ª Edição, São Paulo, Prentice Hall do Brasil, 1992 STALLINGS, W. Arquitetura e Organização de Computadores. 8ª Edição, São Paulo, Pearson, 2010.