Arquitetura de Computadores

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Representação de dados

Representação de dados: Símbolo: marca visual ou gráfica que representa um objeto que desejamos identificar (ex: A, 1, % , ...) Numeral: símbolo designado para representar um número (ex: 1, 7, 5+2, 90%, …) Número: idéia que os símbolos representam. Um número pode ser representado por diversos numerais (ex: 5 = 7 – 2 = = 10 / 2)

Sistema de Numeração Posicional: Cada algarismo componente do número têm um valor relativo conforme sua posição no número. Seu valor absoluto é modificado por um fator (peso), o qual varia conforme a posição do algarismo, sendo crescente da direita para a esquerda Ex: Sistema de numeração decimal 100,00

Algarismos e Números: Em vez de criar infinitos símbolos (algarismos) para representar cada número desejado, pode-se agrupar valores e simplificar sua representação Ex: No base 10, até o valor 9, os números são escritos com algarismos diferentes, mas o valor seguinte, 10, é representado por 2 algarismos (1 e 0), pois não temos o algarismo “10” 10 = 1 (grupo de 10 unidades) + 0 (unidades) O que fazemos para representar o valor 10 ? Esgotadas as possibilidades com os algarismos individuais, utilizamos os 2 “menores” dígitos ou algarismos da base para representar o valor 10 Recombinação dos algarismos da base Pode-se usar esta recombinação para representar qualquer valor, aumentando-se apenas a quantidade de dígitos utilizados na representação Ex: 11, 12, 13, …, 19, 20, 21, …, 29, 30, …, 99, 100, 101, …, 999, 1000, …

BASE: quantidade de símbolos ou dígitos ou algarismos diferentes que o referido sistema emprega para representar os números Toda a estrutura de formação dos números e realização de operações aritméticas em um sistema posicional está relacionada com o valor da BASE do referido sistema Sistema Decimal: 10 símbolos (base 10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sistema Binário: 2 símbolos (base 2) 0, 1 Sistema Hexadecimal: 16 símbolos (base 16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Ex: Sistema decimal = = 2x1000 = 2x103 = 6x100 = 6x102 = 2x = 2x101 = 2x = 2x100

Neste exemplo o fator (peso) que modifica o valor do algarismo conforme sua posição, é, em cada parcela, uma potência de 10 (1000, 100, 10 e 1) a partir da potência 0 (algarismo mais à direita do número, ou menos significativo), sendo crescente para a esquerda (potência 1, potência 2, …) até o último algarismo (mais significativo) É um potência de 10 porque o sistema usado como exemplo é o sistema DECIMAL. Isso conduz a um conceito fundamental dos sistemas posicionais: o de BASE

Algarismos e Números: Qualquer número pode ser interpretado como tendo um VALOR dado pela seguinte expressão: onde: k = base do sistema bi = um algarismo da base n = quantidade de algarismos inteiros no número m = quantidade de algarismos fracionários número

Ex: = 5      10-2 = (500)10 + (40)10 + (1)10 + (2/10)10 + (5/100)10 = (541.25)10 Onde temos: k = base do sistema = 10 bi(s) = algarismos = 5, 4, 1, 2, 5 n = qtd algarismos inteiros = 3 (5, 4, 1) m = qtd algarismos fracionários = 2 (2, 5)

Representação numérica para computador: Toda informação humana pode ser bem representada com zeros e uns. Existem vários tipos de representações que de uma mesma informação. Ex: 10d = 1010b = 0Ah = 12o = ..... Os seres humanos tem facilidades para entender o formato decimal As máquinas tem facilidades para entender o formato Numérico Binário

Limites computacionais A arquitetura de um computador define o número de bits que o um processador pode usar para calcular valores. Este número de bits pode limitar a quantidade de dados que poderão ser processados, se as informações forem muito grandes. Uma outra situação comum é que os operando podem não exceder os limites, mas os resultados podem, gerando um overflow. Ex: em 8 bits é facil somar = 200d, mas 100x100 = (Overflow)

Números de Ponto Fixo Os números de ponto fixo, são representados sempre com número de dígitos fixo, com uma virgula em posição fixa em relação ao número. Ex: 0, , ,11 Podemos representar também como números binários: Ex: 11, , ,11 A virgula não existe nos computadores, apenas na cabeça dos programadores.

Intervalo de Representação e Precisão numérica de ponto fixo Uma representação de ponto fixo pode ser caracterizada pelo intervalo de representação de números que podem ser expressos. (a distância entre maior e o menor número) A precisão é dada pela distância entre dois números adjacentes. Exemplo de Intervalo: 0,00 pode ir até 9,99, logo é denotado como [0,00 , 9,99] Exemplo de Precisão: 9,98 e 9,99, a diferença é 0,01, logo a precisão é de 0,01 Exemplo de Erro: o erro é a precisão/2, logo é 0,005. Figura retirada do livro Introdução a Arquitetura de Computadores, Miles J. Murdocca

Outras formas de representações [0,00 , 9,99] , [00,0 , 99,9] , [000, 999] ou [-49, 50] , [ -99,0] Representações e precisão são pontos importantes em arquitetura de computadores porque ambos são finitos ma implementação da arquitetura. Problema: No mundo real, os números são infinitos.

Lei associativa da álgebra nem sempre funciona em computadores A + (B + C) = (A + B) + C Se o intervalo numérica for de [-9 , 9 ] e sendo a = 7, b = 4 e c = -3, então: A + (B + C) = 7 + (4 – 3) = 8 (A + B) + C = (7 + 4) – 3) = ( Overflow)

Conversão de bases

• Convertendo números de pontos fixos: Exemplo: Convertendo 23,37510 para base binária A conversão é feita em 2 etapas: Parte INTEIRA + parte FRACIONÁRIA (se houver) PARTE INTEIRA: Continuação Em cada divisão, o resto encontrado é um algarismo significativo do número na nova base O primeiro resto encontrado é o valor do algarismo menos significativo (mais à direita) e o último será o algarismo mais significativo (mais à esquerda) Toda a aritmética envolvida no cálculo é da base de origem (neste caso, base 10) Utilizar uma tabela de equivalência dos algarismos das bases K e 10, para saber como representar os algarismos encontrados (resto), se necessário, na base K

Parte Inteira

Parte Fracionária

Portanto, para representar um número na base 10 em uma base qualquer K, converte-se primeiro a parte inteira, depois a parte fracionária, e utiliza-se ambas na notação “Inteiro , Fração” Logo: 23,375 = ( )2 23 = 10111 0,375 = 0,011 23,375 = 10111,011

Base 10 para Base K: PARTE FRACIONÁRIA: Método de Multiplicações Sucessivas Ex 2: Nem sempre pode-se converter uma fração finita em uma fração finita em outra base

Base K para Base 10: Ex 1: ,012 = ( ) 10 100011,012 = 1       20 + 0   2-2 = ,25 = 35,2510 Ex 2: = ( ) 10 6738 = 6    80 = = 44310

Soma Binária

Representação numérica sinalizado Para um número binário de 8 bits, temos 256 possibilidades. Se temos que representar os números negativos também, devemos separar uma parte destas possibilidades para representar estes números. Temos 4 principais formas de sinalizar um número negativo: Sinal de Magnetude Complemento de um Complemento de dois Excesso de 4.

Magnetude de sinal Basta colocar o bit mais significativo com o sinal 1, para representar um número negativo Exemplo: +2510 = -2510 = Duas representações de Zeros. Ex: e Intervalos de números de +127 e – 127 em decimal

Complemento de um Os bits são trocados, os Zeros se tornam Um e os Uns se tornam Zeros. Exemplo: +2510 = -2510 = Possui duas representação de zeros: +0 = , -0 = Faixa de valores: , e o menor número , usando 8 bits de representação

Complemento de dois Neste modo de representação, é executado o complemento de um, mais a somatória de 1. Exemplo: +2510 = -2510 = Apenas uma representação numérica do Zero: +0 = , -0 = Faixa de valores: , e o menor número é , para 8 bits.

Representação de Excesso O número é tratado sem sinal, então o valor é deslocado (shifted) do mesmo. Exemplo: (para criar um numero de excesso, basta somar 128 ao número em um padrão de 8 bits) +1210 = -1210 = Ünica representação do Zero Maior número é , enquanto que o menor número é , usando 8-bit de representação

Representação de Decimal em Binário Números podem ser representados em base 10, mesmo usando codificação binária. Cada dígito na base 10 ocupa quatro bits, o que é conhecido como decimal codificado em binário (BCD). Então, cada dígito utiliza os primeiros 10 padrões de binários de 4 dígitos. Ex: 123 ->

Complemento de 9 e 10

Número de Pontos Flutuantes Permite que grandes números e pequenos números possam ser representados usando somente poucos dígitos, de acordo com a precisão especificada. A precisão é determinada pela quantidade de dígitos da fração (inclui a parte inteira e fracionária) e o dimensão do número é determinado pelo número de dígitos do campo expoente. • Examplo ( ´ 1023):

Normalização Um número na base 10, digamos 254 pode ser representada em ponto flutuante na forma de 254 x 100 , ou equivalentemente: 25.4 x 101, ou 2.54 x 102, ou .254 x 103, ou .0254 x 104, ou Ou de outras formas infinitas, que podem gerar problemas na hora de comparar dois números. Devido a este problema, os números de ponto flutuante são normalizados.Normalmente, mas nem sempre os números são deslocados para a esquerda logo após a virgula. Ex: .254 ´ 103.

Exemplo de ponto flutuante Vamos representar o número .254 x 10 3 numa base normalizada de base 8, com bit de sinal e 3 bits de excesso de 4 para o expoente. Passo 1, converter a base .254 ´ 103 = Usando o método já conhecido, temos = 376 ´ 80: 254/8 = 31 R 6 31/8 = 3 R 7 3/8 = 0 R 3 Passo 2, normalizar: 376 ´ 80 = .376 ´ 83. Passo 3: Preencher os campos de bits, com o sinal, expoente de 3+4 = 7 (excesso ed 4) e 4 dígitos para fração = .3760:

No exemplo anterior temos base = 8; S = 4; M=3; M = -4 Representação do Zero = ; Com estes parametros é possivel calcular os seguintes valores: Maior número representável Menor número representável O maior GAP entre dois números O menor GAP entre dois números O total de bits que são necessários para representar o número

Erros, faixas e precisões: Maior número representável: bM ´ (1 - b-s) = 83 ´ ( ) Menor número representável: bm ´ b-1 = = 8-5 Maior Gap: bM ´ b-s = = 8-1 Menor Gap: bm ´ b-s = = 8-8

Erros, faixas e precisões: Cálculo de número de números de representação Há 5 componentes: (A) O sinal de bits: 2x (B) expoente: (M-m) + 1 (C) Valor do primeiro dígito: b – 1 (Não pode ser Zero para primeiro dígito normalizado) (D) Valor de cada um dos s-1 digitos restantes: Bs-1 (E) representação especial para Zero: + 1 Para este exemplo, temos: 2 ´ ((3 - 4) + 1) ´ (8 - 1) ´ = número que podem ser representados (quantidade de padrões).

Exemplo de Ponto Flutuante: Menor número: 1/8 Maior número: 7/4 Menor gap: 1/32 Maior gap: ¼ Quantidades de números representáveis: 33

O erro relativo é aproximadamente o mesmo para todos os números número Se pegarmos a razão entre o maior gap com o maior número e comparar com a razão do menor gap com o menor número, teremos o mesmo valor.

Conversão de números Converter (9.375 ´ 10-2)10 na base 2 da notação científica Tirar a notação científica: Converter em notação binária : ´ 2 = .1875 ´ 2 = 0.375 .375 ´ 2 = 0.75 .75 ´ 2 = 1.5 .5 ´ 2 = 1.0 Portanto: (.09375)10 = (.00011)2. Finalmente converter para a base 2 normalizada: = ´ 20 = 1.1 ´ 2-4

Padrão IEEE-754 de ponto flutuante

Exemplo do padrão IEEE 754

Exemplo de uso do padrão IEEE 754 Representar na precisão simples do formato IEEE-754: Passo1: Converter para a base 2: = Passo2: Normalizar: = ´ 23 Passo3: Preencher os campos de bits: Sinal negativo, usar 1 Expoente em excesso de 127 (não usar 128). O expoente é representado por um inteiro náo sinalizado: = 130. O bit 1 mais significativo é escondido.

De acordo com exercito norte americano, as falhar dos mísseis patriot, foram as perdas de precisão da conversão de 24 bits de inteiros para 24 bits de ponto flutuante.

Tabela ASCII A possui o valor de 41h. Para converter em maiuscula, basta somar 20h O caracter 5 tem o valor de 35h, para converter para numero, basta subtrair de 30h.

Unicode

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