Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências.

Apresentação em tema: "Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências."— Transcrição da apresentação:

1 Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências

2 Derivação de uma fórmula
Representação: ├  Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula  a partir de um conjunto  de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, ..., n> de fórmulas, tal que: 1.    n =  2.    Cada i, 1  i  n, pode ser: Uma premissa, Uma hipótese ou Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação de uma regra de inferência.

3 Derivação de uma fórmula
Se  é derivada no Sistema Formal a partir de 0(zero) premissas, então,  é dito ser um Teorema do Sistema. ├  Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.

4 Exemplos: 1) ├ P  (P v Q) 1. | P H p/ PC 2. | P v Q 1 vI
3. P  (P v Q) PC

5 Exemplos: 2) ├ P  ((P  Q)  Q) 1. | P H p/ PC 2. | | P  Q H p/ PC
3. | | Q 1, 2 MP 4. | (P  Q)  Q PC 5. P  ((P  Q)  Q) PC

6 Exemplos: 3) ├ P ↔ ~~ P 1. | P H (p/ PC) 2. | | ~P H (p/ RAA)
3. | | P ^ ~P 1, 2 ^I 4. | ~~P , 3 RAA 5. P  ~~P PC 6. | ~~P H (p/ PC) 7. | P ~E 8. ~~P  P PC 9. P ↔ ~~P 5,8 ↔ I

7 Exemplos: 4) ├ P  P 1. | P H (p/ PC) 2. P  P PC

8 Exemplos: 5) ├ (PQ)  (~Q~P) 1. | P  Q H (p/ PC)
3. | | ~P 1,2 MT 4. | ~Q  ~P PC 5. (PQ)  (~Q~P) 1-4 PC

9 Teoremas da Coerência e Completude
Um Sistema Formal S é coerente (sound) e completo se: ├  se e somente se  |═  Derivação ↔ implicação lógica

10 Teoremas da Coerência e Completude
Teorema 1: (Sondness ou coerência) Se |--  então |=  Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida) Teorema 2: (completude) Se |= então |--  Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)

11 Teoremas da Coerência e Completude
Esses teoremas mostram que temos duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: Através da noção de teorema (sintaticamente) Através da noção de tautologia (semânticamente)

12 Semântica da Lógica Proposicional
Vimos até agora uma formulação sintática (noções puramente sintáticas) da lógica proposicional: Linguagem Regras, teoremas, provas Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica): Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou Falso)