Processamento de Sinais

Processamento de Sinais
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Caixa Postal 4386 CEP , Brasília - DF Homepage:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (1)
Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Premissas sobre os sinais Frentes de onda planares Banda estreita Quantos sinais são recebidos? Ordem do modelo Assume-se que a quantidade de amostras temporais N é maior que a quantidade de sensores M. Problema sobredeterminado: assume-se que a quantidade de sensores é maior que a quantidade de fontes d. Arranjo Linear Uniforme (ULA)

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Dados complexos Sensores sempre retornam dados reais. Exemplos de transformações de sinais reais em complexos 1) Separação das componentes em fase e em quadratura 2) Transformada de Hilbert: sinal na forma analítica 3) Análise Tempo-Frequência Transformada de Fourier de tempo curto, do inglês Short-Time Fourier Transform (STFT) 4) Polarização das antenas: vertical e horizontal

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Frentes de onda circulares: mapemaneto em duas variáveis Frentes de onda planares: mapeamento com uma única variável Maior distância entre fonte e arranjo de antenas Espaçamento entre as antenas e quantidade de antenas

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Banda estreita

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Mistura instantânea no caso de sinais banda estreita.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Somente uma frente de onda, i.e., d = 1.  M-1 3 2 1 Relação entre a direção de chegada  e a frequência espacial  c é a velocidade da onda eletromagnética no ar e f é a frequência do sinal banda estreita. Se o sinal tem  = 0, então o desvio de fase  entre as saída é zero.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Estrutura Vandermonde

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Assumindo o caso de N amostras temporais A matriz de dados vetor linha de dados vetor coluna diretor Posto da matriz de dados Todas as linhas e colunas são linearmente dependentes.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Superposição de d fontes na Figura de exemplo d = 4. Sendo N > M = 5, o posto da matriz X é igual a 4.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Matriz de símbolos Matriz diretora sendo N > M > d, o posto da matriz X é igual a d. A é uma matriz Vandermonde.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Caso sem ruído: não realístico = + + Caso com ruído

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada Estimação cega Dadas apenas as medições ruidosas , deseja-se obter e Passo 1) Estimar a ordem do modelo, i.e., d, via técnicas de seleção da ordem do modelo Passo 2) Estimar as frequências espaciais para i = 1, …, d e a partir delas as direções de chegada , para i = 1, …, d Passo 3) Reconstruir a matriz diretora A dada a estrutura Vandermonde e as direções de chegada Passo 4) Estimar a matriz de símbolos S via Moore Penrose pseudoinversa

Matriz de covariância Define-se a função correlação como sendo: Assume-se d sinais não-correlacionados e o ruído é gerado por variáveis independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.).

Matriz de covariância Sinais e ruído não-correlacionados

Matriz de covariância Matriz de covariância do ruído

Matriz de covariância Matriz de covariância dos sinais

Matriz de covariância Matriz de covariância de amostras Na prática, apenas um número limitado de amostras está disponível. Notar que:

Beamforming Como escolher o vetor ? Critério de escolha? Como filtrar sinais de cada direção? Assume-se o número de fontes e as direções conhecidos.

Beamforming Atraso e Soma, do inglês Delay and Sum - Caso de uma única fonte e sem ruído - Escolhendo o caso em que: Interferência construtiva Na prática, existem ruído e sinais de outras direções.

Beamforming Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção (MVDR) Primeira técnica de processamento de sinais em alta resolução e não baseada na decomposição em autovalores (EVD) Dada a saída do filtro: A potência de saída é dada por: Note que: J. Capon, “High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis”, Proc. IEEE, Vol. 57, , 1969

Beamforming Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção (MVDR) Deseja-se maximizar a potência para a direção - independente do sinal, ou seja, estatisticamente Como maximizar/minimizar uma função quadrática com uma função de restrição? Restrição:

Beamforming Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange Multiplicador de Lagrange Restrição Função a ser max/min

Beamforming Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange:

Beamforming Densidade Espacial de Potência: variando

Beamforming Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 1

Beamforming Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 1

Decomposição em Autovalores e Autovetores Comparação com a Transformada de Fourier (TF) Transformada de Fourier (TF) projeta os dados sobre exponenciais complexas. Cada vetor da TF mapeia uma certa frequência. A TF não leva em conta a estrutura dos dados. Transformada Karhunen-Loeve ou Transformada Hotelling ou Transformada de Autovetores Leva em conta a estrutura dos dados. Definição de um autovetor: onde é um autovetor e é um autovalor.

Decomposição em Autovalores e Autovetores Para encontrar os autovalores: Dados um certo autovalor, o seu autovetor correspondente pode ser encontrado substituindo na equação abaixo: Com todos os autovetores e autovalores encontrados, é possível se rescrever a matriz A da seguinte forma:

Decomposição em Autovalores e Autovetores Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:

Decomposição em Autovalores e Autovetores Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz: Autovetores são unitários: Repetir procedimento para

Decomposição em Autovalores e Autovetores Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras Matriz de correlação Em caso de Em caso de

Decomposição em Autovalores e Autovetores Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras Passo 1) Cálculo da matriz de covariância de amostras Passo 2) Decomposição em autovalores e autovetores da matriz de covariância de amostras

Decomposição em Autovalores e Autovetores Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Autovalores da matriz de covariância de amostras d = 2, M = 8 SNR  ∞, N  ∞ M-d autovalores nulos d autovalores de sinais não nulos

Autovalores da matriz de covariância de amostras d = 2, M = 8, SNR = 0 dB SNR finito, N  ∞ M - d autovalores de ruído iguais d autovalores de sinais Comportamento assintótico dos autovalores de ruído

Autovalores da matriz de covariância de amostras d = 2, M = 8, SNR = 0 dB, N = 10 SNR finito, N = 10 M - d autovalores de ruído d autovalores de sinais

Seleção da Ordem do Modelo Por que é importante saber a ordem do modelo? - Caso de subestimação da ordem do modelo: Sinais são modelados como ruído. Logo, SNR baixa!

Seleção da Ordem do Modelo Por que é importante saber a ordem do modelo? - Caso de sobrestimação da ordem do modelo: Ruído é modelado como sinais. Logo, informação e parâmetros sem sentido!

Seleção da Ordem do Modelo Perfil dos autovalores - Indicação da ordem do modelo d Inspeção visual: subjetiva e não automatizada - Estimação automatizada da ordem do modelo Critério de Informação de Akaike Original usando máxima verossimilhança Versão baseada em autovalores H. Akaike, “A new look at the statistical model identification,” IEEE Transactions on Automatic Control 19 (6): 716–723 , 1974 M. Wax, and T. Kailath, “Detection of signals by information theoretic criteria,” IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing, vol. 33, pp , Apr. 1985

Processamento de Sinais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Processamento de Sinais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Processamento de Sinais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Processamento de Sinais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback