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Teoria dos Jogos
2
A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes
3
Teoria dos Jogos A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes que entendem que suas ações afetam as ações de outros agentes
4
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios
5
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios Cartéis
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Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios Cartéis Externalidades
7
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios Cartéis Externalidades Estratégias militares
8
O Que é um Jogo?
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O Que é um Jogo? Um jogo consiste de
10
O Que é um Jogo? Um jogo consiste de um conjunto de jogadores
11
O Que é um Jogo? Um jogo consiste de um conjunto de jogadores
um conjunto de estratégias para cada jogador
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O Que é um Jogo? Um jogo consiste de um conjunto de jogadores
um conjunto de estratégias para cada jogador payoffs (recompensas), para cada jogador, resultantes das escolhas estratégicas possíveis
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
14
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo” O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo” O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita” A tabela que mostra as recompensas, para cada jogador, de cada uma das quatro possíveis combinações estratégicas é a matriz de payoff
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas As recompensas do jogador B são apresentadas à direita das vírgulas
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D),
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A e o segundo elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador B
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita,
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1 e a recompensa de B é 8
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita,
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2 e a recompensa de B é 1
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A Que jogadas provavelmente vão ocorrer neste jogo?
32
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1)
33
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita,
34
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo
35
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2
36
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2 Então (A,D) não ocorreria
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (2,1) B (0,0)
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita,
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo,
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita
42
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita Então (B,D) é uma jogada provável
43
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1)
44
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo
45
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita Então (B,E) não é uma jogada provável
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Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1)
48
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto
49
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda
50
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda
51
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto
52
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto Então (A,E) é uma jogada provável
53
É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra
Equilíbrio de Nash É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra
54
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)
55
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá?
56
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores
57
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores Deverá então ocorrer apenas (A,E)?
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Dilema dos Prisioneiros
Jogo que exemplifica o fato de que resultados Pareto-preferíveis não necessariamente vão ocorrer
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Que jogadas provavelmente ocorrerão neste jogo?
60
O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar Se Bonnie jogar Confessar então a melhor
62
O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Clyde
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar
65
O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Bonnie também
66
O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C),
67
O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores
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O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores O único equilíbrio de Nash é ineficiente
69
Quem Joga Quando? Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente
70
Quem Joga Quando? Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente Estes são jogos simultâneos
71
Quem Joga Quando? Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
72
Quem Joga Quando? Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais
73
Quem Joga Quando? Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o líder
74
Quem Joga Quando? Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o líder O jogador que joga depois é o seguidor
75
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash
76
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer
77
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir
78
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir se um equilíbrio de Nash terá mais chances de ocorrer do que os outros
79
Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente
80
Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente E não temos nenhuma maneira de decidir qual dos equilíbrios é mais provável
81
Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente
82
Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder
83
Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder podemos expressá-lo na sua forma extensiva
84
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
85
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash
86
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash
87
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash Qual deles tem mais chances de ocorrer?
88
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3
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Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2
90
Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2 Então (A,E) será o único equilíbrio de Nash
91
Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)
92
O jogador A escolhe A ou B,
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B,
93
O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B
94
O jogador A escolhe A ou B,
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B
95
Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B A e B são as estratégias puras do jogador A
96
Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B
(3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B
97
Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras
98
Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras Todo jogo precisa ter pelo menos um equilíbrio de Nash com estratégias puras?
99
No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash com estratégias puras?
100
Estratégias Puras (1,2) E D A (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash?
101
Estratégias Puras (0,4) E D A (1,2) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash?
102
Estratégias Puras (0,5) E D A (1,2) (0,4) B (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash?
103
Estratégias Puras (3,2) E D A (1,2) (0,4) B (0,5)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash?
104
Estratégias Puras E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash? Não
105
Este jogo não tem equilíbrio de Nash
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras
106
Este jogo não tem equilíbrio de Nash Mas tem com estratégias mistas
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras Mas tem com estratégias mistas
107
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
108
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA
109
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA
110
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA)
111
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo,
112
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo, a distribuição de probabilidade (pA,1pA) é a sua estratégia mista
113
Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE
114
Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE
115
Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE)
116
Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita,
117
Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita, a distribuição de probabilidade (pE,1pE) é a sua estratégia mista
118
Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras
119
Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas
120
Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas Como computar o equilíbrio de Nash com estratégias mistas?
121
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A,pA
Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA
122
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A + 5(1A)
123
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A+5(1A) Se B jogar Direita, seu payoff esperado é 4A+2(1A)
124
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda
125
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Esquerda
126
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita
127
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Direita
128
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita,
129
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A)
130
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A) A = 3/5
131
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A,
Jogador A B, (0,5) (3,2)
132
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1 E + 0 (1 E) = E
133
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1 E + 0 (1 E) = E Se A jogar Baixo seu payoff esperado é 0 E + 3 (1 E) = 3(1 E)
134
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1 E) então A jogará apenas Alto
135
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1 E) então A jogará apenas Alto Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Alto
136
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1 E) então A jogará apenas Baixo
137
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1 E) então A jogará apenas Baixo Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Baixo
138
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja
139
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1 E)
140
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1 E) E = 3/4
141
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é
142
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)
143
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5) e B adotar a estratégia mista (3/4, 1/4)
144
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, (1,2) A, (0,4) 9/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) Os payoffs serão (1,2) com probabilidade
145
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) e (0,4) com probabilidade
146
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) B, (3,2) 6/20 e (0,5) com probabilidade
147
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 e (3,2) com probabilidade
148
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para A, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é
149
Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para B, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é
150
Fonte Hal Varian Intermediate Microeconomics, 5th Edition Chapter 28, Game Theory
© 2006 Tradução, Adaptação e Confecção Sergio Da Silva. All rights reserved
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