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Prof. Christiano Lima Santos
Raciocínio Lógico Prof. Christiano Lima Santos
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Conteúdo do Curso Lógica proposicional Operações com conjuntos
Cálculos com porcentagens
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Lógica Proposicional Parte 01
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Sumário Proposição Tipos de proposições
Princípios fundamentais da lógica Conectivos ou operadores lógicos Operações lógicas Tautologia, contradição e indeterminação Leis de equivalência
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Proposição É uma frase declarativa a qual pode ser atribuída o valor verdadeiro (V) ou falso (F); Exemplos de frases que são proposições: O Japão fica na África 3 + 4 = 7 Exemplos de frases que não são proposições: 3 + 4 Onde você vai?
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Pergunta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!
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Resposta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!
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Tipos de proposições Proposição simples (ou atômica)
Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma; É designada por uma letra minúscula; Ex: Carlos é careca = q Proposição composta Formada pela combinação de duas ou mais proposições (ligadas por um conectivo); É designada por uma letra maiúscula; Ex: Carlos é careca e Pedro é estudante = Q
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Pergunta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado
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Resposta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado
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Princípios fundamentais da lógica
Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso; O valor lógico de uma proposição simples p é sempre indicado por V(p).Exemplo: p: O Sol é verde V(p) = F
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Pergunta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.
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Resposta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.
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Conectivos ou Operadores lógicos
São usados para formar novas proposições a partir de outras: ~ ou ¬ (não); (e); (ou exclusivo) (ou); (se então); (se e somente se).
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Tabela verdade É uma estrutura tabular, isto é, formada por linhas e colunas, que lista os possíveis valores para cada proposição simples e valores resultantes para as proposições compostas pelas mesmas. Para uma proposição simples p, terá somente uma coluna contendo os valores V e F. Exemplo: p V F
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Tabela verdade Para uma proposição composta P, teremos cada coluna representando uma proposição atômica componente ou a própria proposição P e cada linha representando os possíveis valores para as proposições atômicas e o valor resultante da proposição P; Exemplo: p q p q V F
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Operações lógicas Negação (~); Conjunção (); Disjunção ();
Disjunção exclusiva (); Condicional (); Bicondicional ().
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Negação Se p é uma proposição, a negação da proposição p é denotada por ~p (p) A negação apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada. Tabela verdade: p ~p V F
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Exemplos de negação p ~p Nenhum homem é elegante
Algum homem é elegante Todo homem é elegante Algum homem não é elegante
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Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p q” (leia “p e q”) cujo valor lógico é V quando ambas as proposições são verdadeira e F nos demais casos. V(p q) = V(p) V(q) Tabela verdade: p q p q V F
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Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p q” (leia “p ou q”) cujo valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é verdadeira e F se ambas são falsas. V(p q) = V(p) V(q) Tabela verdade: p q p q V F
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Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p q” (leia “p ou exclusivo q”) cujo valor lógico é V quando uma proposição é verdadeira e a outra falsa e F quando ambas são falsas ou ambas são verdadeiras. V(p q) = V(p) V(q) Tabela verdade: p q p q V F
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Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “p q” (leia “se p então q”) cujo valor lógico é F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos. V(p q) = V(p) V(q) Tabela verdade: p q p q V F
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Pergunta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado
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Resposta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado
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Pergunta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)] R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado
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Resposta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)] R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado
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Pergunta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P Q] [P Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P Q] [P Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P Q P Q [P Q] [P Q] V F
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Resposta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P Q] [P Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P Q] [P Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P Q P Q [P Q] [P Q] V F
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Bicondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p q” (leia “p se e somente se q”) cujo valor lógico é V quando p e q são ambos verdadeiros ou falsos e F nos demais casos. V(p q) = V(p) V(q) Tabela verdade: p q p q V F
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Pergunta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P Q Q P P Q V F
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Resposta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P Q Q P P Q V F
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Tautologia É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes; Exemplo: p ~p p ~p p ~p V F
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Pergunta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P Q R P Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P Q R P Q P Q R P Q V F
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Resposta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P Q R P Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P Q R P Q P Q R P Q V F
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Contradição É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes. É a negação da tautologia; Exemplo: p ~p p ~p p ~p V F
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Indeterminação Uma proposição é indeterminada (ou logicamente contingente) quando não é tautologia nem contradição; Exemplo: p q p q p q V F
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Leis de equivalência Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorreu uma equivalência entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idênticas. (P Q) Exemplo: p q ~(p q) V F p q ~p ~q V F
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Leis de equivalência É possível simplificar as proposições, utilizando as seguintes leis de equivalência: (1) Negação da negação ~ (~ p) p (2) Negação da Conjunção ~ (p q) ~p ~q (3) Negação da Disjunção ~ (p q) ~p ~q Leis de Morgan
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Leis de equivalência (4) Leis Idempotentes p p p p p p
(5) Leis complementares p ~p (tautologia) (V) p ~p (contradição) (F) (6) Leis de Identidade p p p p p p
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Leis de equivalência (7) Leis Comutativas p q q p p q q p
(8) Leis Associativas p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r (9) Leis Distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
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Leis de equivalência (10) Condicional p q ~(p ~q) ~p q
p q ~q ~p A condicional não satisfaz as leis: * idempotente: p p p * comutativa: p q q p * associativa: (p q) r p (q r)
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Leis de equivalência (11) Bicondicional p q (p q) (q p)
~ (p q) p ~q ~p q p q (p q) (~p ~q) ~ (p q) (p ~q) (~p q)
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