Rede Ibero-americana “Meio Ambiente Subterrâneo e Sustentabilidade” MASyS, 2010 - 2013 Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Cuba, Equador, Espanha, México,

Apresentação em tema: "Rede Ibero-americana “Meio Ambiente Subterrâneo e Sustentabilidade” MASyS, 2010 - 2013 Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Cuba, Equador, Espanha, México,"— Transcrição da apresentação:

1 Rede Ibero-americana “Meio Ambiente Subterrâneo e Sustentabilidade” MASyS, 2010 - 2013
Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Cuba, Equador, Espanha, México, Peru, Portugal e Venezuela

2 MODELAGEM MATEMÁTICA EM FLUXO DE MATERIAL FRAGMENTADO COM FOCO EM MINERAÇÃO SUBTERRÂNEA MATHEMATICAL MODELING OF FLOW OF GRANULAR MATERIAL WITH A FOCUS ON UNDERGROUND MINING P. F. T. Lopes, M. S. Lana, P. H. S. Crispim. Departamento de Engenharia de Minas – DEMIN Escola de Minas – EM Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP

3 Introdução Problemas relacionados ao fluxo de materiais fragmentados são muito comuns em diversos setores, tais como mineração, metalurgia e a agricultura. Material fragmentado, ou granular, é um conjunto de partículas sólidas distintas, que interagem apenas nos pontos de contato. As partículas podem variar de tamanho, forma e orientação.

4 Introdução Devido ao seu comportamento mecânico bastante complexo, o fluxo de materiais granulares não se enquadra perfeitamente em nenhum modelo mecânico de comportamento (sólidos, fluidos ou gases). Para alguns autores, o material granular trata-se de outro estado da matéria, com modelos mecânicos e constitutivos específicos.

5 Introdução Em diversas situações o material granular ou particulado é produzido por algum processo de fragmentação e a denominação material fragmentado é preferida. Esse conjunto de partículas pode estar em movimento devido à ação da força da gravidade; quando isso ocorre, temos um fluxo gravitacional de material fragmentado.

6 Figura 1: Padrões de fluxo em silos (à esquerda – fluxo em funil, no centro – fluxo em massa e à direita – fluxo misto) - (Silva, 2005).

7 Introdução Em mina subterrânea é essencial estudar as condições de fluxo de material fragmentado por gravidade, comum, por exemplo, nas operações de transporte do minério em passagens, silos, alimentadores de equipamentos. Apesar de sua importância em diversos métodos de lavra subterrânea, o mecanismo de fluxo por gravidade das rochas desmontadas ou colapsadas ainda não é bem entendido.

8 Introdução O mecanismo de fluxo de material desmontado ou abatido em mina subterrânea foi alvo de estudos na década de 60 usando modelos físicos experimentais (Kvapil, 1965 e Jenike, 1966), através de analogia com o fluxo de materiais granulares em silos. Esse mecanismo também foi estudado através de modelos em escala reduzida de galerias de produção no método de lavra por abatimento em subnível, sublevel caving (Janelid & Kvapil, 1966).

9 Introdução A lavra por abatimento em subníveis é um método de lavra baseado no fluxo por gravidade de minério desmontado por explosivos e na indução de deslocamentos do maciço rochoso estéril sobrejacente. O minério é desmontado através de furação ascendente em leques nas galerias de produção. O minério é extraído seletivamente utilizando-se carregadeiras. À medida que o minério fragmentado vai sendo extraído, o minério desmontado e o estéril abatido se deslocam para enchimento temporário da escavação. Assim, o sucesso do método depende da mobilidade do minério desmontado e do estéril abatido.

10 Figura 2: Layout típico de lavra por abatimento em subnível (adaptado de Hartman & Mutmansky, 2002)

11 Figura 3: Abatimento em subnível: seções transversal e longitudinal (adaptado de Brady & Brown, 2004)

12 Modelo do elipsoide de fluxo
Os autores introduziram o conceito do elipsoide de fluxo. O silo contendo o material fragmentado é a galeria de produção. O material descarregado flui sob o efeito da gravidade. Após determinado período de tempo, forma-se uma zona de material aproximadamente elipsoidal, denominada elipsoide de movimento. O material contido entre o elipsoide de movimento e o elipsoide limite desloca-se, mas não atinge o ponto de descarga. Além do elipsoide limite não há movimentação de material. O cone invertido mostrado na figura indica os grandes deslocamentos que ocorrem no canal central de fluxo, à medida que o fluxo de material prossegue.

13 Figura 4: O conceito do elipsoide, segundo Janelid & Kvapil (adaptado de Brady & Brown, 2004)

14 Modelo do elipsoide de fluxo
Dados experimentais de laboratório e campo têm mostrado o fluxo de material pode se afastar da forma de um elipsoide, como enfatizam Brady & Brown (2004). Sua forma é função da distribuição de tamanho das partículas e da abertura do ponto de descarga. Partículas menores tornam o elipsoide mais alongado para uma mesma abertura do ponto de descarga.

15 Modelo do elipsoide de fluxo
Independentemente dessas discrepâncias o modelo do elipsoide é útil no sentido de fornecer uma base para entendimento do problema do fluxo. Assim é possível estudar parâmetros geométricos de dimensionamento de layouts de galerias de produção em lavra por abatimento em subnível.

16 Modelo do elipsoide de fluxo
Neste trabalho é feita uma análise da influência da fatia de minério a ser desmontada e da excentricidade do elipsoide de movimento na recuperação e diluição na lavra, usando o modelo citado, como uma forma de demonstrar a importância do fluxo na eficiência da lavra em abatimento por subnível. Também é apresentada uma análise crítica do modelo utilizado e uma proposta de modelo matemático baseada em parâmetros geométricos e geomecânicos envolvidos no fluxo de material.

17 Modelo do elipsoide de fluxo
A forma do elipsoide de movimento é dada pela sua excentricidade: 𝜀= 1 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 2 − 𝑏 𝑛 Onde, 𝜀 é a excentricidade do elipsoide. 𝑎 𝑛 𝑒 𝑏 𝑛 são, respectivamente, os semi-eixos maior e menor do elipsoide, assumindo que a seção transversal horizontal do elipsoide é circular.

18 Modelo do elipsoide de fluxo
Com base no conceito de Janelid & Kvapil (1966), foram desenvolvidos modelos matemáticos para determinar relações entre recuperação e diluição para diferentes layouts de lavra. Os fatores geométricos a serem levados em consideração incluem a largura da galeria de extração, altura e espaçamento, intervalo entre subníveis, altura de fluxo, fatia e inclinação da fatia de minério desmontado.

19 Figura 6: Seção vertical ao longo do eixo longitudinal de uma galeria de extração, mostrando a fatia r de minério desmontado (adaptado de Brady & Brown) Figura 5: Elementos de um layout de lavra em abatimento por subnível (adaptado de Brady & Brown)

20 Modelo do elipsoide de fluxo
Just et. al. (1973) discutem os layouts de lavra e apresentam três parâmetros que afetam a eficiência da lavra; a percentagem de extração (E), a recuperação (R) e a diluição (D), dadas pelas equações:  𝐸= 𝑇 𝑑 𝑇 𝑓 ×100  𝑅= 𝑇 0 𝑇 𝑓  𝐷= 𝑇 𝑤 𝑇 𝑑 Onde, 𝑇 𝑑 = tonelagem de minério mais estéril abatido 𝑇 𝑓 = tonelagem de minério desmontado 𝑇 0 = tonelagem de minério em fluxo 𝑇 𝑤 = tonelagem de estéril em fluxo

21 Modelo do elipsoide de fluxo
Combinando as equações anteriores: 𝑅=𝐸 1− 𝐷 100 A situação ideal seria uma recuperação de 100%, sem que houvesse diluição. Porém, a diluição é intrínseca ao método de lavra em abatimento por subnível. Sendo assim, uma recuperação da ordem de 60 a 90% com diluição entre 5 a 35% é geralmente aceitável.

22 Modelo do elipsoide de fluxo
Com o objetivo de otimizar a distância entre os leques utilizados no desmonte (fatia de minério a ser desmontado), Just et. al. (1973) propuseram um modelo baseado no conceito do elipsoide desenvolvido por Janelid & Kvapil (1966). O modelo parte da equação da elipse, que representa a seção vertical transversal do elipsoide. Por desenvolvimentos algébricos simples chega-se à equação: 𝑎= 𝑤 2 + 4ℎ 2 𝐸𝑀 8ℎ𝐸𝑀  𝑏= 𝑤 2 +4 ℎ 2 𝐸𝑀 8ℎ 𝐸𝑀  𝐸𝑀=1− 𝜀 2 = 𝑏 2 𝑎 2 Onde, 𝑎= semi-eixo maior da elipse 𝑏= semin-eixo menor da elipse 𝑤= largura da galeria de extração ℎ= altura da galeria de extração 𝜀= excentricidade da elipse

23 Modelo do elipsoide de fluxo
O volume de material em fluxo (Vd) é calculado considerando-se a metade do volume total da elipse, já que a outra metade não é desmontada: 𝑉 𝑑 = 𝜋ℎ 16 𝑤 ℎ 2 𝐸𝑀

24 Figura 7: Elipsoide de fluxo truncado (adaptado de Brady & Brown)

25 Modelo do elipsoide de fluxo
O cálculo da recuperação requer o cálculo do volume de minério desmontado em cada leque 𝑉 𝑓 que é calculado por: 𝑉 𝑓 =𝑟 𝑖𝑠−𝑣𝑤 Onde: 𝑖= intervalo entre subníveis 𝑠= espaçamento entre galerias de extração 𝑣= altura da galeria de extração A fatia de minério desmontado pode ser expressada como uma função do semi-eixo menor da elipse: 𝐾= 𝑟 𝑏 A expressão resultante da diluição é: 𝐷=100− 𝐾 1− 𝐾 2 3

26 Resultados do modelo do elipsoide de fluxo
Neste trabalho foram feitas algumas simulações variando o valor da distância entre leques de perfuração (fatia de minério desmontado) para análise dos valores de eficiência de extração, recuperação e diluição. Os dados de entrada correspondem a um layout típico de lavra por subnível: Largura da galeria de extração – 13 metros Altura da galeria de extração – 10 metros Espaçamento entre galerias – 38 metros entre os eixos Intervalo entre os subníveis – 40 metros Excentricidade do elipsóide –0,95

27 Figura 8: Recuperação x Distância entre leques, 𝜀=0,95 (Crispim, 2010)
Figura 9: Diluição x Distância entre leques, 𝜀=0,95 (Crispim, 2010)

28 Figura 10: Eficiência x Distância entre leques, 𝜀=0,95 (Crispim, 2010)

29 Resultados do modelo do elipsoide de fluxo
A curva apresenta ápice em torno de 82% de eficiência e 9,5 m de distância entre leques. Para essa distância a recuperação (em torno de 89%) e a diluição (em torno de 8%) também apresentam valores aceitáveis.

30 Resultados do modelo do elipsoide de fluxo
O modelo apresentado, embora tenha mérito porque representa um ponto de partida importante no dimensionamento de layouts de lavra por abatimento em subnível, trabalha com parâmetros puramente geométricos. O que representa um problema, já que o fluxo de material fragmentado depende de vários outros fatores, como as velocidades de fluxo, as forças que atuam no material em fluxo, o empilhamento das partículas, a resistência de atrito entre partículas, dentre outros.

31 Proposição de modelo de fluxo
Modelos cinemáticos simplificados envolvendo o conhecimento do perfil de velocidade de materiais granulares em silos e câmaras foram desenvolvidos desde a década de 50 (Nedderman, 1992). Um modelo cinemático contínuo parte de uma lei constitutiva empírica que relaciona componentes de velocidades (Tüzün & Nedderman, 1979).

32 Proposição de modelo de fluxo
Considerando um sistema de coordenadas bidimensional com o eixo z vertical, positivo para cima e o eixo x horizontal, positivo para a direita, com a origem no ponto de descarga do silo, Nedderman & Tüzun (1979) propuseram uma equação para a velocidade v de descida no silo: 𝜕𝑣 𝜕𝑧 =𝑏 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑥 2 Onde 𝑏 é uma constante de proporcionalidade denominada pelos autores de comprimento de difusão. A equação (16) tem a forma da equação de difusão, onde o tempo é substituído pela coordenada z.

33 Figura 11: (a) Curvas de isocontorno do campo de velocidade de descida média. (b) Resultados dos modelos experimental e numérico para dois valores de z: 9,1d e 29,1d.

34 Proposição de modelo de fluxo
A abordagem contínua para o fluxo de materiais granulares é conveniente sob o ponto de vista matemático, porque ao tratar o meio como contínuo, permite a utilização de equações diferenciais para fins de modelagem. Deve-se levar em conta, no entanto, que a abordagem contínua é válida quando o número de partículas for grande o suficiente, já que a menor escala do sistema corresponde ao tamanho de um grão. No caso do fluxo em galerias de produção no método de lavra em subnível por abatimento é uma abordagem, em princípio, que poderia ser considerada.

35 Figura 12: Diagrama idealizado mostrando a transição de uma rocha intacta para um maciço rochoso fraturado, como uma influência do efeito escala (adaptado de Hoek & Brown, 1980)

36 Proposição de modelo de fluxo
A abordagem apresenta por Neves (2009) discorda da utilização de modelos contínuos, já que os materiais granulares são particulados. Este autor estuda o comportamento de um solo, submetido a um ensaio biaxial, utilizando o método dos elementos discretos, implementado no código comercial PFC2D (Itasca, 2004). As características discretas do meio, segundo o autor, permitem a modelagem de comportamentos complexos do material, quando submetidos a carregamentos e descarregamentos, os quais dificilmente seriam modelados a partir de abordagens contínuas.

37 Proposição de modelo de fluxo
A figura 13 mostra um arranjo geométrico possível para um material granular construído no PFC2D. É interessante observar a heterogeneidade da distribuição dos vazios e dos diâmetros dos grãos, características geradas através de recursos disponíveis no código, descritos por Neves (2009). Perfis de velocidade e deslocamento podem ser gerados através da aplicação do método dos elementos discretos, permitindo a definição da geometria do fluxo.

38 Figura 13: Arranjo possível de material granular no PFC2D (Neves, 2009)

39 Conclusões O comportamento do material granular em fluxo por gravidade no interior de silos é um assunto que interessa a vários ramos da atividade humana, como a mineração e a agricultura. Desde a década de 50 vários autores se propuseram a estudar o problema. Mesmo assim, até hoje ele não é considerado trivial, já que o comportamento do material pode atingir alto grau de complexidade. Neste trabalho o estudo do fluxo de material foi focado no método de lavra por abatimento em subnível. Um modelo matemático simples foi aplicado para demonstrar a importância do assunto no dimensionamento de um layout ótimo para a lavra. Outros modelos mais complexos foram discutidos, juntamente com as possibilidades oferecidas por cada um deles ao tratamento do problema.

40 Referências [1] BRADY B.H.G. & BROWN E. T. (2004). Rock Mechanics for Underground Mining, Springer, 645p. [2] CRISPIM P. H. S. (2010). A influência do ring burden e do elipsoide de movimento em lavras do tipo Sublevel Caving. Trabalho de final de curso de graduação em engenharia de minas, UFOP, 41p. [3] ITASCA CONSULTING GROUP (2004). PFC2D – Particle Flow Code in 2D dimensions, version 3.1. [4] JAEHYUK C., KUDROLLI A. & BAZAN M. Z. (2005). Velocity profile of granular flows inside silos and hoppers. J. Phys. Condens. Matter, special issue on granular media, p [5] JANELID I. & KVAPIL R. (1966). Sub-level caving. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. V.3, p [6] JENIKE A. W. (1966). Storage and flow of solids. Trans. Soc. Min. Engrs., AIME, 235: p [7] JUST G. D., FREE, G. D. & BISHOP G. A. (1973). Optimization of ring burden in sub-level caving. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. V 10, p [8] HARTMAN H. & MUTMANSKY J. M. (2002). Introductory Mining Engineering. John Wiley & Sons. [9] KVAPIL R. (1965). Gravity flow of granular materials in hoppers and bins. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. V.2 (1), p V.2 (3), p [10] LITWINISZYN J. (1958). Rheol. Acta, 213, 46. [11] LITWINISZYN J. (1963). Bull. Acad. Pol. Sci., 9, 61. [12] MULLINS J. (1974). Powder Technology, p [13] NEDDERMAN R. M. (1992). Statics and Kinematics of Granular Materials, Cambridge University Press. [14] NEVES C. E. V. (2009). Comportamento de materiais granulares usando o método dos elementos discretos. Dissertação de mestrado, UNB, 183p. [15] PARISEAU W. G. & PFLEIDER E. P. (1968). Soil plasticity and the movement of material in ore passes. Trans. Soc. Min. Engrs., AIME, 241 (1), p [16] TÜZÜN U. & NEDDERMAN R. M. (1979). Powder Technology, 24, 257.