A Lei dos Grandes Números Por Thiago de Oliveira Alves (ToWo) – Rio das Flores – 18/01/2013.

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1 A Lei dos Grandes Números Por Thiago de Oliveira Alves (ToWo) – Rio das Flores – 18/01/2013

2 Introdução: a desigualdade de Tchebycheff Quando conhecemos a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X ( quer no caso contínuo ou discreto), podemos calcular E(X) e Var(X), se existirem. Já a recíproca não é verdadeira. Ou seja, do conhecimento de E(X) e Var(X) não é possível reconstruir a distribuição de probabilidades de X. Porém, mesmo não podendo calcular estas probabilidades ( a partir do conhecimento de E(X) e Var(X)), pode-se provar que existe um limite superior (ou inferior) para elas. Isto será expresso na chamada “desigualdade de Tchebycheff”.

3 Apresentação simples da desigualdade de Tchebycheff Seja f(x) a função densidade de probabilidade (fdp) de da variável aleatória X. Pela definição de probabilidade sabemos que Qualquer outra probabilidade, como De, temos que

4 Daí, se efetuarmos o produto podemos modificar a primeira desigualdade para O segundo membro desta desigualdade expressa uma “esperança”. A saber

5 Esta é a desigualdade de Tchebycheff E sua forma complementar é Cabe ressaltar que c é um número real qualquer, ԑ é qualquer número positivo e E(X-c) 2 é finita. Para o caso discreto, com p(x i ) sendo a função de probabilidade de X=x i, o processo é análogo. Basta substituir a integral pelo somatório.

6 Agora, para ficar mais interessante e prático, vamos ilustrar este resultado fazendo algumas considerações. Considere E(X)=μ (média da população), ε=k.σ (um múltiplo do desvio padrão da população) e Var(X)=σ 2 (quadrado do desvio padrão). Podemos utilizar a desigualdade de Tchebycheff para mostrar que existem limites para uma probabilidade, sem ser necessário conhecer a fdp da variável aleatória.

7 Façamos o seguinte Isto significa que a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor que distancie da média μ, k vezes o desvio padrão, tanto pra mais quanto pra menos, é no máximo 1/k 2 !

8 Exemplo Houve um concurso público e nele participaram 2000 candidatos. A prova era de múltipla escolha e tinha 50 questões. Sabe-se por experiências anteriores que a média das notas é próxima de 25 e que o desvio padrão é sempre próximo de 6,0. Podemos estimar usando a desigualdade de Tchebycheff que a probabilidade de alguém tirar uma nota acima de 37=(25+2x6,0) ou abaixo de 13=(25-2x6,0) é no máximo 0,25=(1/2 2 ).

9 Surge então uma pergunta. Quando digo que a probabilidade de alguém tirar certa nota numa prova é 0,25, quer dizer que 25% dos candidatos obterão este resultado? A resposta depende de um fator: o número de candidatos. Quanto maior o número de candidatos, mais provável que a frequência relativa de pessoas que tiraram uma nota seja igual a probabilidade deste evento. Matematicamente falando, podemos dizer que a frequência relativa será igual a probabilidade se o número de candidatos for infinito. Este resultado é expresso na Lei dos Grandes Números.

10 Lei dos Grandes Números Esta lei possui várias formulações, mas enunciaremos aqui a formulação de Bernouilli. Seja E um experimento e A um evento associado a E. Considere n repetições independentes de E, seja n A o número de vezes em que A ocorra nas n repetições, e façamos f A = n A / n. Seja P(A)=p para todas as repetições de E.

11 Dado as condições anteriores, para todo ԑ>0 Ou, equivalente,

12 Podemos demonstrar esta lei usando a desigualdade de Tchebycheff que nos foi apresentada anteriormente. n A é uma variável aleatória binomialmente distribuída. O evento A é uma dicotomia. Pode ocorrer ou não. f A também é uma variável aleatória e aplicaremos a desigualdade de Tchebycheff a ela.

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15 Fazendo n tender ao infinito, chegaremos ao limite que pretendíamos demonstrar. Ou seja, quando o número n de repetições de um experimento for muito grande a frequência relativa de sucessos f A convergirá em probabilidade para o valor teórico da probabilidade de sucesso p.

16 Exemplo Quantos candidatos serão necessários para que tenhamos no mínimo 95% de certeza de que a proporção de pessoas que tiraram a nota 37 difira 0,01 da probabilidade teórica máxima 0,25? A resposta é 37500 candidatos.

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18 Agora um exemplo para fazer em casa. Ao jogar uma moeda para o alto você tem 0,5 de probabilidade teórica de tirar coroa. Quantas vezes você jogaria uma moeda para ter ao menos 99% de certeza de que a proporção de coroas entre as jogadas seja no máximo 50,1%? Confira a resposta no próximo slide.

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20 Cabe lembrar que f A é uma variável aleatória e se jogarmos a moeda 250000 vezes ela estará ou não a menos de 0,01 de 1/2. O que o exemplo anterior garante é que eu tenho no mínimo 99% de chance de ter este resultado ao jogar a moeda 250000 vezes. Isto, é. A cada ocasião que eu jogar a moeda 250000 vezes, cerca de 99% destas ocasiões terá a frequência relativa de sucessos diferenciando 0,01 da probabilidade teórica.

21 Conclusão Sabemos agora de maneira segura que podemos inferir a probabilidade de um evento ocorrer pela frequência com que ele ocorre e vice-versa. Esta lei também é uma ótima ferramenta no processo de decisão e análise de risco. Ao decidirmos pelo mais provável estaremos garantidos de que em longo prazo erraremos menos. O mesmo seria que se escolhêssemos a opção que ocorreu com mais frequência após um longo prazo, estaríamos escolhendo a opção mais provável. Vale a pena tentar. O problema é que, como foi visto, o prazo pode ser muito longo para se ter uma boa garantia como 95% ou 99% de certeza, por exemplo.

22 Bibliografia MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística; tradução do Prof. Ruy de C. B. Lourenço Filho. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos S.A., 1983. HELENE, Otaviano Augusto Marcondes, VANIN, Vito R. Tratamento estatístico de dados em física experimental. 2 ed. São Paulo: Edgar Blucher, 1991. MAE 228 - Notas de aula. Desigualdades de Markov e Chebyshev e Lei Fraca dos Grandes Números. Notas transcritas por: Rafael Keiti Oiski Grunho de Souza (rkeiti@gmail.com) e Paulo Laurent Waelkens (paulodamontanha@yahoo.com). IME – USP, 31 de Março de 2006rkeiti@gmail.compaulodamontanha@yahoo.com MURTEIRA, Bento José Ferreira (1990): Probabilidades e Estatística - Volume I, 2ª Edição Revista, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda..

23 MAGALHÃES, Marcos N. Probabilidade e variáveis aleatórias. 2 ed. São Paulo: Edusp, 2006. JAMES, Barry. Probabilidade: um curso em nível intermediário. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. Para críticas, sugestões e correções envie um e- mail para: towo497@hotmail.com (Thiago de Oliveira Alves). towo497@hotmail.com