Prof. Mário Alves Aula de Revisão da AV1 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I.

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1 Prof. Mário Alves Aula de Revisão da AV1 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

2 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Conteúdo Programático desta aula  Rever os conceitos dos conteúdos das aulas 1 até 5.

3 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 01: Mostre que se m < n e n < p, então m < p, para m, n e p números naturais. Solução: -Como m 0 e que (p – n) > 0; -Somando, temos: (n-m) + (p-n) > 0; -Ainda: (p-n) > - (n-m); -(p-n) > -n + m -Por fim: p > m ou m < p (c.q.d.)

4 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 02: Mostre que –(m + n) = (-m) + (-n), para m, n números naturais. Solução: -Temos, pela propriedade do elemento simétrico que: -(m + n) = (-1)(m + n) -Pela propriedade distributiva, vale que: (-1)(m + n) = (-1)(m) + (-1)(n) -Novamente, pela propriedade do elemento simétrico: -(m + n) = (-m) + (-n) (c.q.d.)

5 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 03: Demonstrar a proposição: P(n): 1 + 3 + 5 +... + (2n-1) = n², para todo n natural Solução: -Temos que P(1) é verdadeira, pois 1 = 1² -A nossa hipótese de indução é: P(k): 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1) = k² - Adicionando (2k + 1) a ambos os lados desta igualdade, obtemos: 1 + 3 + 5 +...+ (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² - Isto significa que P(k+1) é verdadeira. Assim, por indução, mostramos que P(n) é verdadeira para todo natural n.

6 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 04: Demonstrar a proposição: P(n): 2 n > n, para todo n natural Solução: -Temos que P(1) é verdadeira, pois 2¹ > 1 -A nossa hipótese de indução é: P(k): 2 k > k, para k natural -Multiplicando por 2 ambos os lados desta igualdade, obtemos: 2.2 k > 2k ou 2 k+1 > k + k k + 1 Isto é: 2 k+1 > k + 1 - Isto significa que P(k+1) é verdadeira. Assim, por indução, mostramos que P(n) é verdadeira para todo natural n.

7 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 05: Considere a existência de um hotel que possua infinitos quartos e o hotel está lotado. Um ônibus trouxe infinitos novos hóspedes. Será possível acomodar todo esse ônibus, permanecendo com os hóspedes anteriores? Como isso poderia ser feito?

8 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Solução: -A resposta correta é sim, por incrível que pareça! -Basta que o dono do hotel dê a ordem para que os hóspedes já acomodados desocupem o quarto que estão e passem a ocupar o quarto que possua o número correspondente ao dobro do atual. -Assim, quem estava no 1, passaria para o 2, quem estava no 2, passaria para o 4, quem estava no 3, passaria para o 6, e assim por diante. -Assim, os quartos ímpares estariam vagos e podemos acomodar todos os novos hóspedes!

9 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 06: Mostre que x² = 2 não é satisfeita por nenhum número racional x. Solução: -Vamos supor que exista um racional x. Então, poderíamos escrevê-lo como x = p/q, com p e q inteiros e primos entre si. -Em particular, sabemos que p e q não são ambos pares. -Assim: x² = p²/q² = 2 -> p² = 2q² -De cara, sabemos que p² é par. Portanto p é par (Teste!!) -Assim, podemos escrever p = 2m e, por consequência: p² = 2q² -> 4m² = 2q² -> 2m² = q² -Isso mostra que q² é par e, q é par, o que nos leva a uma contradição. -Assim, provamos que nenhum racional satisfaz a equação do enunciado.

10 Revisão AULAS 1 A 5 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I Exercício Nr 07: Mostre que, para elementos arbitrários de um corpo ordenado qualquer, vale a relação: |x+y| |x| + |y| Solução: -Observe que: -|x| x |x| -|y| y |y| -Por adição, vale que: -(|x| + |y|) x + y |x| + |y| -Ou seja: |x + y| |x| + |y| (c.q.d.)