MICROECONOMIA II Professora Silvinha Vasconcelos

Apresentação em tema: "MICROECONOMIA II Professora Silvinha Vasconcelos"— Transcrição da apresentação:

1 MICROECONOMIA II Professora Silvinha Vasconcelos
25/04/2017 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

2 JOGOS SIMULTÂNEOS (ESTÁTICOS COM INFORMAÇÃO COMPLETA)
25/04/2017 JOGOS SIMULTÂNEOS (ESTÁTICOS COM INFORMAÇÃO COMPLETA) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

3 Na Aula Passada 25/04/2017 Vimos que um jogo descreve uma interação estratégica, as ações possíveis dos jogadores, mas não sabemos ainda como serão as escolhas das ações Também vimos que, para começar a análise de um jogo, precisamos especificar um modelo que o descreva, utilizando todos os elementos de um jogo dados na aula passada, inclusive o conceito solução. Importante : cada tipo de jogo requer um conceito solução diferente Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

4 OBS: REPRESENTAÇÃO ALTERNATIVA À FORMA NORMAL DE UM JOGO ESTÁTICO
25/04/2017 N=[I, {Si}, {ui(.)}] ONDE N ESPECIFICA PARA JOGADOR I UM CONJUNTO DE ESTRATÉGIAS SI (COM SI PERTENCENDO A SI) E UMA FUNÇÃO PAYOFF UI(S1, ..., SI) QUE DÁ NÍVEIS DE UTILIDADE DE VON NEUMANN-MORGENSTERN ASSOCIADOS COM RESULTADO (POSSIVELMENTE ALEATÓRIO) ADVINDO DAS ESTRATÉGIAS (S1, ..., SI) . Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

5 Conteúdo da Aula 25/04/2017 Veremos jogos onde os payoffs dos jogadores e todas as informações relevantes para o processo de interação estratégica são de conhecimento comum (informação completa) Serão apresentados conceitos solução para este tipo de jogo Equilíbrio de estratégia dominante Método de eliminação sucessiva de estratégias estritamente dominadas Equilíbrio de Nash Equilíbrio de ponto focal Equilíbrio de estratégias mistas Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

6 Bibliografia Mas-collel et al., Cap. 8 Rasmussen, p. 16-29 25/04/2017
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7 OBSERVAÇÃO: 25/04/2017 Lembre que os conceitos descritos neste momento valem para jogos de movimentos simultâneos (todos jogadores se movem somente uma vez e ao mesmo tempo) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

8 25/04/2017 PRIMEIRO MÉTODO PARA ENCONTRAR EQUILÍBRIO: Equilíbrio de estratégia dominante Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

9 DEFINIÇÃO 1: ESTRATÉGIA DOMINANTE (P. 237 MAS-COLELL)
25/04/2017 Uma estratégia si  Si é estratégia estritamente (fortemente) dominante para o jogador i do jogo N = [I, {Si}, {ui(.)}] Se, para todo s’i ≠ si, tivermos Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Ou seja, o payoff decorrente de si é estritamente superior aos payoffs de todas as outras estratégias de i, quaisquer que sejam as estratégias dos demais.

10 EXEMPLO: DECISÕES ENTRE AMIGOS IR AO BAR É ESTRATÉGIA ESTRITAMENTE DOMINANTE PARA SAM EM RELAÇÃO A IR AO MUSEU E IR AO CAFÉ 25/04/2017 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

11 Jogo Clássico (P. 236 Mas-colell)
25/04/2017 História do jogo do “Dilema dos Prisioneiros” Dois transeuntes foram presos por vadiagem, suspeitos de terem participado de um roubo, mas não há evidências suficientes para condená-los O delegado os interroga em celas separadas e oferece o seguinte acordo: “se você confessar e seu amigo não, você será solto, seu amigo ficará preso e vice-versa. Se ambos confessarem, ambos receberão sentenças moderadas. Se nenhum confessar, ambos serão condenados por vadiagem, com penas bem menores.” Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

12 O DILEMA DOS PRISIONEIROS
Des Al C NC (-8,-8) (0,-15) (-15,0) (-1,-1) 25/04/2017 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

13 A LÓGICA DO JOGO 25/04/2017 Imagine o processo de raciocínio do Al: ele deve confessar ou não? Se ele acredita, por alguma razão, que Des vai confessar, então, ele escolhe confessar, porque 8 meses na cadeia é melhor do que 15. Confessar é melhor estratégia para ambos Mesmo conjeturando sobre o que o outro deve fazer, percebe-se que estas conjecturas são irrelevantes: não importa o que Des fizer, Al deve confessar Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

14 A LÓGICA DO JOGO 25/04/2017 O mesmo raciocínio se aplica a Des: ele deve confessar Este é o equilíbrio do jogo: o resultado de decisões racionais simultâneas para ambos os jogadores O (C,C) não é o melhor resultado conjunto, pois ambos estariam melhor em (NC, NC). Por isto o jogo é exemplo de um comportamento racional e egoísta que não é resultado ótimo socialmente. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

15 PORQUE O RESULTADO PARECE PARADOXAL?
25/04/2017 Ao se comparar o resultado em que ambos confessam com o que nenhum confessa, tem- se uma contradição entre o que é individualmente racional com o que é coletivamente racional Ou seja a busca do ganho individual resulta em ambos estarem pior do que se cooperassem No jargão econômico: um resultado é eficiente se não houver um resultado alternativo que deixaria algum jogador melhor e nenhum pior. E um resultado é ineficiente se houver outro que os jogadores prefiram No exemplo: o resultado (-1,-1) é eficiente. Mas o equilíbrio do jogo é ineficiente Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

16 MORAL DA HISTÓRIA 25/04/2017 Pessoas que falham em cooperar na busca de seu benefício mútuo não são necessariamente tolas ou irracionais: elas podem estar agindo de forma perfeitamente racional. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

17 OBS: Vendo como descartar estratégias que não serão jogadas
25/04/2017 Vendo como descartar estratégias que não serão jogadas Precisamos do conceito de estratégias dominadas Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

18 DEFINIÇÃO 2: ESTRATÉGIA DOMINADA (P. 237 MAS-COLELL)
25/04/2017 25/04/2017 Uma estratégia si  Si é estratégia estritamente (fortemente) dominada para o jogador i do jogo N = [I, {Si}, {ui(.)}] Se existe outra estratégia s’i Si, tal que Mestrado em Economia Aplicada - UFJF Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Neste caso, dizemos que s’i domina estritamente si 18

19 DEFINIÇÃO 2.1: ESTRATÉGIA FRACAMENTE DOMINADA (P. 238 MAS-COLELL)
25/04/2017 25/04/2017 25/04/2017 Uma estratégia si  Si é estratégia fracamente dominada para o jogador i do jogo N = [I, {Si}, {ui(.)}] Se existe outra estratégia s’i  Si, tal que Mestrado em Economia Aplicada - UFJF Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Mestrado em Economia Aplicada - UFJF Neste caso, dizemos que s’i domina estritamente si 19 19

20 Estratégias dominadas
25/04/2017 25/04/2017 Exemplo 8B2 e 8B3 p. 238 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

21 OUTRO EXEMPLO DE DOMINÂNCIA FRACA IR AO BAR É ESTRATÉGIA FRACAMENTE DOMINANTE
25/04/2017 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

22 O conceito de EED (Equilíbrio de estratégia dominante)
25/04/2017 Conceito 3: o EED é a combinação de estratégias consistindo de estratégias dominantes de cada jogador Exemplo: (Bar, Bar) é o equilíbrio de estratégias dominantes Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

23 25/04/2017 SEGUNDO MÉTODO PARA ENCONTRAR EQUILÍBRIO: MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

24 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Conceito: Um equilíbrio de dominância interativa é uma combinação de estratégias achada pela retirada de estratégias fracamente dominadas do conjunto de estratégias de um dos jogadores, recalculando para achar quais estratégias remanescentes são fracamente dominadas, continuando o processo de retirada até que reste somente uma estratégia para cada jogador. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

25 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Termos sinônimos Equilíbrio de dominância iterativa Equilíbrio de estratégia dominante iterativa Jogo de dominância solvível (que pode ser resolvido por retirada de estratégias dominantes) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

26 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Seja o jogo do Dilema dos Prisioneiros modificado, chamado DA’s Brother (Irmãos do Delegado) Um dos prisioneiros, o 1, é irmão do delegado. Este trata diferencialmente os presos, em particular, ele pode permitir que o prisioneiro 1 seja libertado se ninguém confessar. Com essa mudança, se 2 confessa, 1 deveria também confessar. E NC se torna a melhor estratégia de 1 caso 2 não confesse. Em resumo: não há como descartar estratégias dominadas de 1 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

27 A matriz do DA’s Brother
25/04/2017 ORDEM DE ELIMINAÇÃO (LARANJA, VERDE), GERANDO EQUILÍBRIO (C, C) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

28 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Problema: pode haver equilíbrio múltiplo com este método Exemplo: seja o jogo seguinte Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

29 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Ordem de eliminação 1 (vermelho, azul, verde, amarelo) gera equilíbrio (R1,C1)=(2,12) R2 dominada por R1; e R3 é dominada por R1 C2 é dominada por C1 e C3 é dominada por C1 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

30 OBSERVAÇÃO 1: 25/04/2017 A eliminação de estratégias estritamente dominadas requer somente que cada jogador seja racional Mas a eliminação de estratégias fracamente dominadas requer racionalidade e conhecimento comum (se 2 não joga estratégias dominadas, 1 também o faz porque também é racional e sabe que 2 é racional) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

31 Exemplo: - D DOMINA FRACAMENTE M E U.
25/04/2017 Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0 3,1 D 6,4 4,4 - D DOMINA FRACAMENTE M E U. - NESTE CASO, É PRECISO QUE 2 SEJA RACIONAL MAS TAMBÉM QUE 1 SAIBA QUE 2 É RACIONAL. - OU SEJA, PARA ELIMINAR ESTRATÉGIAS FRACAMENTE DOMINADAS, 1 TEM QUE TER CERTEZA DESTA RACIONALIDADE DE 2 PARA ELIMINAR M E SABER QUE ASSIM 2 NÃO JOGARÁ R (DOMINADA APÓS ELIMINAÇÃO DE M) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

32 OBSERVAÇÃO 2: 25/04/2017 A deleção iterativa de estratégias fracamente dominadas é difícil de justificar pois o resultado PODE depender da ordem da eliminação Ver ex. 8B3 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0 3,1 D 6,4 4,4 1 3 2

33 OBSERVAÇÃO 2: Ainda no Ex. 8B3 Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0
25/04/2017 Ainda no Ex. 8B3 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0 3,1 D 6,4 4,4 3 1 2

34 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO SUCESSIVA DE ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS
25/04/2017 Em resumo: A ordem de eliminação não importa quando há dominância forte. Ou seja, o resultado pode divergir somente para dominância fraca. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

35 TERCEIRO MÉTODO PARA ENCONTRAR O EQUILÍBRIO: Equilíbrio de Nash
25/04/2017 TERCEIRO MÉTODO PARA ENCONTRAR O EQUILÍBRIO: Equilíbrio de Nash Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

36 COMO ENCONTRAR SOLUÇÃO PARA JOGOS SEM ESTRATÉGIAS DOMINADAS?
25/04/2017 Coluna A NA Linha D (2,1) (-1,-2) ND (0,-1) (1,2) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Payoffs indicam que escolhas divergentes trazem prejuízos para ambos. Mas não há estratégias dominantes.

37 Equilíbrio de Nash (EN)
25/04/2017 Conceito: Uma combinação de estratégias puras s=(s1, ..., sI) constitui um EN do jogo N = [I, {Si}, {ui(.)}] se, para cada i = 1, ..., I, ui(si,s-i)  ui(s’i,s-i), s’iSi Em um EN, cada escolha da estratégia do jogador é uma melhor resposta às estratégias realmente jogadas pelos seus rivais se nenhum jogador tem incentivo a desviar de sua estratégia, dado que os outros não desviam. Formalmente, ele reúne as estratégias que são melhor resposta às estratégias dos demais e isto é válido para todos, ou seja Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

38 No exemplo D é a melhor resposta a A e A é a melhor resposta a D
25/04/2017 Coluna A NA Linha D (2,1) (-1,-2) ND (0,-1) (1,2) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF D é a melhor resposta a A e A é a melhor resposta a D ND é a melhor resposta a NA e NA é a melhor resposta a ND Então (D,A) e (ND, NA) são EN

39 Outros Exemplos 8D1 e 8D2 p. 246-7 Mas-Collel 8D3 p. 247 25/04/2017
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40 OBS.: Estratégia racionalizável
25/04/2017 Conceito As estratégias que sobrevivem à eliminação sucessiva de estratégias que nunca são a melhor resposta (pois não há justificativa para jogá-la) Captura a implicação do conhecimento comum dos jogadores acerca da racionalidade dos demais e da estrutura do jogo e requer somente que a estratégia do jogador seja uma melhor resposta à alguma conjectura razoável, justificável, sobre o que seu rival estará jogando. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

41 OBS.: Diferença de Estratégia racionalizável para En
25/04/2017 O EN adiciona a isto o requerimento de que os jogadores estão CORRETOS em suas conjecturas. Veremos isso adiante Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

42 OBSERVAÇÕES 25/04/2017 Apesar do equilíbrio resultar das melhores respostas individuais, isto não significa que as decisões conjuntas dos jogadores seja a melhor possível Os resultados podem ser pensados em termos de ótimo de Pareto. Relembrando, É possível haver uma melhora no sentido de Pareto se a situação de pelo menos um jogador melhora, sem que a situação de nenhum dos outros piore. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

43 OBSERVAÇÕES Ou seja, por exemplo,
25/04/2017 Ou seja, por exemplo, B Tarifa Alta Tarifa Baixa A (800,800) (2300,-700) (-700,2300) (1700, 1700) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Então, (Tarifa Baixa, Tarifa Baixa) é superior no sentido de Pareto ou Pareto domina (Tarifa Alta, Tarifa Alta).

44 OBSERVAÇÕES 25/04/2017 Todo equilíbrio de estratégia dominante é EN mas nem todo EN é de estratégia dominante É possível que os jogos tenham mais de um EN. E, em estratégias puras pode ser que não exista EN. Com mais de um equilíbrio, o analista não poderá prever o que ocorrerá, mas terá indicações de que os agentes podem ir para um equilíbrio indesejável. No exemplo abaixo, se não houver um mecanismo que coordene decisões, as empresas vão adotar campanhas agressivas quando a rival não adotar. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Coluna Adota Não Adota Linha (-20,-20) (10,-10)* (-10,10)* (0,0)

45 OBSERVAÇÕES 25/04/2017 Há ainda jogos sem EN, como este de soma zero (o que um ganha, outro perde) 2 Cara Coroa 1 (1,-1) (-1,1) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF É um jogo de conflito irreconciliável (não há estratégias que sejam melhores respostas para ambos)

46 Do Dilema dos prisioneiros tem-se ainda
25/04/2017 EN: (C,C) resulta da falta de compromissos críveis/ garantidos Conceito: Jogo não cooperativo É o jogo em que os jogadores não podem estabelecer compromissos críveis. Caso contrário, o jogo é cooperativo Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

47 Equilíbrio de Ponto Focal (rasmussen)
25/04/2017 É um equilíbrio de Nash que se destaca dos outros devido a alguma assimetria que é conhecimento comum para os jogadores. Ele sugere que há aspectos do jogo que determinam as escolhas mas que não são formalizados pela Teoria. Exemplo: Escolha cara ou coroa (a maioria escolhe cara) Se for encontrar alguém em JF em um domingo, sem ter se comunicado previamente, onde deve ser e a que horas? Circule três dos seguintes números: 7, 100, 13, 261, 99, 666 (a maioria escolhe um dos 3 primeiros) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

48 ponto focal Observação:
25/04/2017 Observação: os limites são pontos focais particulares, porque o comportamento em torno de fronteira traz informação. Por exemplo, se um país cruza a fronteira de outro, isto indica quebra de diplomacia. Ou ainda uma divisão de bolo entre duas pessoas em (50%,50%) para cada Assim como no conceito de EN, o ponto focal usa a suposição de expectativas mutuamente corretas (assume-se que os jogadores prevêem corretamente qual será o EN, o que pode ser culturalmente determinado, como caminhar do lado direito da calçada). Veja o exemplo 8D3 Mas-collel. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

49 25/04/2017 Estratégias mistas Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

50 Escolhas aleatorizadas
25/04/2017 Assuma agora que os jogadores fazem suas escolhas não mais com certeza Isto implica que a estratégia não vai mais ser determinística (o que se chama de estratégia pura) Quando um jogador aleatoriza um elemento do conjunto de estratégias, isto dá origem ao que se chama de estratégias mistas Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

51 Estratégias Mistas (p. 232 mas-Collel)
25/04/2017 Conceitos Uma estratégia pura relaciona cada conjunto de informação possível dos jogadores à uma ação, ou Dado o conjunto de estratégias puras (finito) do jogador i, Si, uma estratégia mista para o jogador i, i(si):Si [0,1], atrela a cada estratégia pura si  Si a probabilidade i(si)  0 de que ela será jogada, onde si  Si i(si) =1 Note que a estratégia pura pode ser vista como um caso especial de estratégia mista na qual a distribuição de probabilidade sobre os elementos de Si é degenerada Uma estratégia completamente mista atribui probabilidade positiva a cada ação Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

52 Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas (Mas-collel, p. 250)
25/04/2017 Definição 8D2 Uma combinação de estratégias = (1,...,I) constitui um EN do jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se, para cada i = 1, ..., I ui(i , -i)  ui(’i , -i)  ’i (Si) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

53 Exemplo 8D4 (mas-Collel, p. 250)
25/04/2017 Seja o jogo Matching Pennies: o ENEM é (, )=(½, ½) Não existe EN em estratégias puras Jogador 2 Cara () Coroa (1-) Jogador 1 Cara () (-1,1) (1,-1) Coroa(1 - ) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

54 Estratégias Mistas Então:
25/04/2017 Então: Uma estratégia pura constitui uma regra que diz ao jogador que ação escolher, enquanto uma estratégia mista constitui uma regra que diz a ele para jogar os dados de forma a escolher uma ação. Se o jogador usa uma estratégia mista, ele pode escolher qualquer das várias diferentes ações em uma dada situação, que imprevisivelmente será útil para ele. Então, aleatoriedade pode ser racional para teóricos de jogos. É possível resolver jogos sem EN jogando aleatoriamente, de forma a surpreender nas escolhas Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

55 Estratégias mistas Exemplo: o jogo do bem-estar
25/04/2017 Exemplo: o jogo do bem-estar Pobre Trabalha () Vadia (1-) Governo Ajuda () (3,2) (-1,3) Não ajuda (1 - ) (-1,1) (0,0) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Nenhum jogador tem estratégia dominante Não existe EN em estratégias puras Verificar na matriz que sempre existe incentivos a desviar de qualquer posição possível

56 o cálculo do EN em estratégias mistas
25/04/2017 O s payoffs dos jogadores são valores esperados dos payoffs da matriz de resultados Função payoff esperado do governo Função payoff esperado do trabalhador Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

57 o cálculo do EN em Estratégias mistas
25/04/2017 Método de maximização de payoff esperado Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

58 o cálculo do EN em estratégias mistas
25/04/2017 O método de igualar payoffs Do governo Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Do trabalhador

59 DISCUSSÃO A lógica do método de encontrar EN em estratégias mistas
25/04/2017 A lógica do método de encontrar EN em estratégias mistas os jogadores são indiferentes entre suas estratégias (ver proposição 8D1 seguinte) O método de igualar payoffs é mais simples e deve ser usado se o modelador estiver certo acerca de quais estratégias serão mistas (por exemplo, no caso de existirem mais de duas estratégias disponíveis) Quando a probabilidade encontrada está fora do intervalo [0, 1], ou houve erro aritmético ou está errado pensar que o jogo tem equilíbrio de estratégia mista. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

60 PROPOSIÇÃO 8D1 25/04/2017 Seja Si+  Si o conjunto de estratégias puras que o jogador i joga com probabilidade positiva em uma combinação de estratégias mistas = (1,...,I) . A combinação de estratégias  é EN no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se e somente se i = 1,...,I, (i) ui(si , -i) = ui(s’i , -i) si, si’  Si+ (ii) ui(si , -i)  ui(s’i , -i) si Si+ e  si’ Si+ Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

61 PROPOSIÇÃO 8D1 25/04/2017 Ou seja, a condição necessária e suficiente para uma combinação de EM ser EN do jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] é que cada jogador, dada a distribuição de estratégias jogadas pelos seus oponentes, é indiferente entre todas as estratégias puras que ele joga com probabilidade positiva e estas estratégias são no mínimo tão boas quanto qualquer estratégia pura que ele joga com probabilidade zero. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

62 DISCUSSÃO 25/04/2017 Para o modelador: ter em mente que esta tarefa de verificar existência de equilíbrio ajuda a entender as características que o equilíbrio de um jogo em processo de modelagem deve ter e a provar que ele existe Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

63 OBSERVAÇÃO Proposição 8D2 (p. 252, Mas-collel)
25/04/2017 Proposição 8D2 (p. 252, Mas-collel) “Todo jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] no qual os conjuntos S1 ,..., SI tem um número finito de elementos tem um ENEM” * Para o caso das estratégias serem variáveis contínuas, não se pode assegurar que haja ENEM. Ver Proposição 8D3 (p. 253, Mas-collel) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

64 Efeito de EM sobre estratégias dominadas/dominantes
25/04/2017 Definição 8B4 (p. 240 Mas-collel) Uma estratégia i  (Si) é estritamente dominada para o jogador i no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se existe outra estratégia ’i  (Si) tal que,  -i  j≠i (Sj) ui(’i , -i) > ui(i , -i) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

65 Efeito de EM sobre estratégias dominadas/dominantes
25/04/2017 Proposição 8B1 (p. 241 Mas-collel) Uma estratégia pura do jogador i, si  Si é estritamente dominada no jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}] se e somente se existe outra estratégia ’i  (Si) tal que,  s-i  S-i ui(’i , s-i) > ui(si , s-i) Ou seja, para testar se estratégia pura si é dominada quando é possível aleatorizar, basta checar se alguma estratégia mista do jogador i é melhor do que si considerando cada possível combinação de estratégias puras dos rivais de i Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

66 PROPOSIÇÃO 8B1 EXEMPLO DOMINAÇÃO DE ESTRATÉGIA PURA POR UMA MISTA
25/04/2017 Jogador 1 Jogador L R U () 10,1 0,4 M 4,2 4,3 D (1-) 0,5 10,2 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Jogar estratégia mista (u,d) com probabilidade (, 1-) = (½ , ½) é melhor do que jogar M com certeza.

67 PROVA 25/04/2017 UL Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF UR

68 Em Resumo 25/04/2017 Uma estratégia pura pode ser eliminada por ser dominada por uma combinação aleatória de outras estratégias puras No exemplo, U é estratégia ótima se 2 joga L e péssima se joga R; D é ótima no caso oposto. M é boa mas não melhor do que L e R (nenhuma das três é dominada por outra) Mas se 1 aleatoriza, jogando U e D com probabilidade ½, E(u) = 5, dominando M estritamente Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

69 Estratégias Racionalizáveis
25/04/2017 Objetivo: usar o conhecimento comum e a racionalidade para eliminar estratégias que não são dominadas Conceito de estratégias racionalizáveis Conjunto de estratégias que podem ser jogadas no jogo onde a estrutura do jogo e a racionalidade dos jogadores são conhecimento comum entre os jogadores Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

70 Conceito de melhor resposta (Rasmussen):
25/04/2017 A melhor resposta do jogador i ao que o jogador -i fizer é a estratégia que gera maior payoff, isto é, a melhor resposta é fortemente melhor se nenhuma outra estratégia é tão boa quanto e fracamente melhor se houver outra tão boa quanto. Ou Forte Fraca Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

71 Exemplo de melhor resposta
25/04/2017 C P G A (14,14) (-1,16) (16,-1) (1,1) C pensa: Se A jogar P é melhor jogar G Se A jogar G é melhor jogar G A pensa: Se C jogar P é melhor jogar G Se C jogar G é melhor jogar G Então G é a melhor resposta para ambos. Também é estratégia estritamente dominante. Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

72 ui(i ,  -i)  ui(’i ,  -i)
Conceito de melhor resposta em jogo com estratégias mistas (Mas-collel, p. 242) 25/04/2017 No jogo N = [I, { (Si)}, {ui(.)}], a estratégia i é a melhor resposta para o jogador i às estratégias de seus rivais, -i se ui(i ,  -i)  ui(’i ,  -i)  ’i  (Si) . A estratégia i nunca é a melhor resposta se não existir -i para o qual i é a melhor resposta. Ou seja, i é a melhor resposta a -i se ela é uma escolha ótima quando o jogador i conjectura que seu oponente irá jogar -i Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

73 Resumindo 25/04/2017 Os jogadores nunca vão jogar estratégias que não são melhor resposta: isto vale para estratégias dominadas mas também para outras estratégias Basta encontrar uma justificativa para racionalizar, afirmando com alguma conjectura sobre as escolhas de seus rivais e deletar a estratégia que o jogador julga que não será jogada (não necessariamente dominada) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF

74 Exemplo: 8C1 p. 244 (Mas-Collel)
25/04/2017 Jogador 1 Jogador 2 b1 b2 b3 b4 a1 0,7 2,5 7,0 0,1 a2 5,2 3,3 a3 a4 0,0 0,-2 10,-1 Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF Vendo o conjunto de estratégias racionalizáveis para 1 e 2: b4 pode ser eliminada porque nunca é a melhor resposta, já que é dominada por b1 e b3 se estas forem jogadas com probabilidade ½ uma vez que se elimina b4 ,a4 pode ser eliminada porque ela é dominada por a2

75 Exemplo: 8C1 p. 244 (Mas-Collel)
25/04/2017 Em resumo O conjunto de estratégias racionalizáveis de 1 é {a1, a2, a3} e de 2 é {b1, b2, b3}, onde a1 é a melhor resposta a b3 e b1 é a melhor resposta a a1 a2 é a melhor resposta a b2 e b2 é a melhor resposta a a2 a3 é a melhor resposta a b1 e b3 é a melhor resposta a a3 Mas a única situação em que os jogadores estão corretos em suas conjecturas é no EN (a2,b2) Pós Graduação em Economia Aplicada - PPGEA/UFJF