História do Cálculo Diferencial (Derivadas)

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1 História do Cálculo Diferencial (Derivadas)
Os principais protagonistas … Pierre de Fermat ( ) Isaac Newton ( ) Gottfried Leibniz ( )

2 . Fermat, conseguiu explicar como se constrói uma
reta tangente a uma curva … . A atribuição da prioridade da invenção do Cálculo Diferencial gerou alguma disputa, mas a generalidade das opiniões considera que Newton foi o primeiro a fazer a descoberta, sendo Leibniz o primeiro a divulgá-la. Quanto à originalidade, ambos desenvolveram trabalhos independentes, relacionados com problemas físicos …

3 Como é natural, novas descobertas se seguiram …
Desenvolveram-se duas correntes para a abordagem do Cálculo Diferencial, consoante as concepções utilizadas por cada um deles, respectivamente a tradição inglesa (Newton) e a tradição continental (Leibniz) …

4 Foram vários os matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo , nomeadamente, Leonhard Euler (1707 – 1783)

5 E inclusive o português
José Anastácio da Cunha (1744 – 1787) … através da sua obra Princípios Mathematicos

6 (Descrição matemática do movimento)
A importância do Cálculo Diferencial (Descrição matemática do movimento) Modelação Matemática – Problemas de otimização Encontrar máximos e mínimos de funções

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9 Taxa média de variação

10 Interpretação geométrica da taxa média de variação de uma função f no intervalo [a, b]
A taxa média de variação de uma função f num intervalo [a, b] representa geometricamente o declive da recta definida pelos pontos do gráfico de coordenadas (a, f(a)) e (b, f(b)).

11 Interpretação física da taxa média de variação de uma função f no intervalo [a, b]
A taxa média de variação está associada à velocidade média num certo intervalo de tempo.

12 Propriedades da taxa média de variação
Se f é estritamente crescente em [a, b], então t.m.v.[a, b] é positiva. Se f é estritamente decrescente em [a, b], então t.m.v.[a, b] é negativa. Se f é constante em [a, b], então t.m.v.[a, b] é nula. Nota: As afirmações recíprocas são falsas. Podemos comprovar isso, através de contra-exemplos, usando o gráfico seguinte EXERCÍCIOS Manual, volume 2, página 60 (34), página 61 (38)

13 Cálculo da Taxa de variação
Para estimar a velocidade do esquiador no instante t = 4, considera-se o cálculo da velocidade média (taxa média de variação) em intervalos de tempo do tipo [4, 4+h], em que h vai tomando valores cada vez mais próximos de zero, isto é, h tende para zero. Vamos completar a seguinte tabela:

14 Conclusão: À medida que a amplitude do intervalo [4, 4+h] diminui, as velocidades médias aproximam - se de _____. A, este valor chama-se velocidade instantânea no instante t = 4. Definição de Taxa de variação A Taxa de variação de uma função f, real de variável real, em x = a, é o número real, caso exista, para que tende o quociente , quando h tende para zero, e representa-se por também é designado por derivada da função f no ponto de abcissa a. Para calcular, utiliza-se:

15 Interpretação geométrica de taxa de variação de uma função f quando x = a
A taxa de variação de f em x = a, geometricamente, representa o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a.

16 A Taxa de variação está associada à velocidade instantânea.
Interpretação física da taxa de variação de uma função f em x = a A Taxa de variação está associada à velocidade instantânea. NOTA: Também podemos calcular a derivada de uma função num ponto, usando a calculadora. 

17 1. Seja f a função definida por f(x) = x2 - 4
1.1. Calcula a t.m.v.[0, 2] 1.2. Determina, usando a definição, a taxa de variação de f em x = 1. 1.3. Escreve a equação da reta tangente ao gráfico de f, em x = 1.

18 EXERCÍCIOS: Manual, volume 2, página 63 (40, 41, 42), página 65 (43), página 66 (44, 45) Recomenda-se as TAREFAS 13 (PÁGINA 64) E 14 (PÁGINA 67)

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21 FUNÇÃO DERIVADA Seja f uma função, real de variável real, e D o conjunto de todos os elementos do domínio de f que admitem derivada. Chama-se FUNÇÃO DERIVADA de f à função de domínio D que a cada x faz corresponder o número real 𝑓 ′ (𝑥). A função derivada de f representa-se geralmente por 𝑓 ′ 𝑜𝑢 𝑑𝑓 𝑑𝑥

22 REGRAS DA DERIVAÇÃO 𝑓 𝑥 =𝑘 𝑘 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =0 𝑓 𝑥 =𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =1 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 𝑛 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 (𝑓±𝑔) ′ = 𝑓 ′ ± 𝑔 ′ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =− 𝑎 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥−𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =− 𝑎 (𝑥−𝑏) 2 𝑓 𝑥 =𝑐+ 𝑎 𝑥−𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 ′ 𝑥 =− 𝑎 (𝑥−𝑏) 2

23 EXERCÍCIOS Manual, volume 2, página 72 (47, 48, 49), página 73 (50, 51, 52), página 74 (53, 54, 55) página 75 (56, 57), página 76 (58, 59), página 78 (60, 61), página 79 (62, 63, 64)

24 ATENÇÃO À DERIVADA DA FUNÇÃO MÓDULO
EXERCÍCIOS Manual, volume2, página 81 (66)

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26 EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO

27 NOTAS: 1. Pode haver um extremo num ponto a sem haver derivada nesse ponto. Basta que a derivada mude de sinal. 2. Não é suficiente que a derivada se anule num ponto a para que haja um extremo nesse ponto. É necessário que a derivada mude de sinal.

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29 EXERCÍCIOS Manual, volume 2, página 83 (67, 68), página 84 (69, 70, 71), página 85 (72), página 86 (73, 74)

30 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Manual, volume 2, página 87 (Tarefa 20), página 88 (Tarefa 21), página 89 (Tarefa 22). Outros problemas: Página 139 (proposta 14, 15, 16 e 17) Página 140 (proposta 18, 19, 20, 21) Página 141 (proposta 22, 23, 24) Página 142 (proposta 25, 26, 27, 28) Página 143 (proposta 29, 30, 31) Página 144 (proposta 32)

31 «A Matemática não é um livro fechado …»
James J. Sylvester «A Matemática foi o alfabeto com o qual Deus construiu o Universo …» Galileu Galilei