«Deus não joga aos dados…»

Apresentação em tema: "«Deus não joga aos dados…»"— Transcrição da apresentação:

1 «Deus não joga aos dados…»
«Alea Jacta Est.» (A Sorte está lançada) Imperador Júlio César (100 – 44 a.C.) «Deus não joga aos dados…» Albert Einstein ( )

2 No nosso quotidiano, existem dois tipos de experiências, as:
-deterministas; -aleatórias. Uma experiência determinista ou causal é aquela que se sabe o seu resultado, antes de a efectuar, e produz o mesmo resultado, desde que seja repetida sob as mesmas condições. Exemplo: Se atirarmos uma pedra a um lago, sabemos que o seu resultado será sempre, a pedra vai ao fundo. Uma experiência aleatória ou casual é caracterizada pelo facto do seu resultado ser imprevisível, embora os resultados possíveis sejam conhecidos e mesmo que realizada várias vezes e nas mesmas condições, o resultado de cada uma das realizações é incerto, e só é conhecido posteriormente. Exemplo: Lançamento de um dado equilibrado. A Teoria das Probabilidades ocupa-se do estudo das experiências aleatórias.

3 A origem das probabilidades…
O aparecimento da Teoria das Probabilidades, esteve relacionado com os denominados «jogos de azar», e a procura de regularidades e explicações para maximizar os sucessos foram as motivações para aprofundar os conhecimentos nesta área da Matemática. Os primeiros contributos devem-se a Tartaglia ( ), Luca Pacioli ( ), Galileu ( ) e Cardano ( ). Cardano foi o primeiro a dedicar um livro às Probabilidades, Liber de Lvdo Alea. Luca Pacioli Cardano Galileu Tartaglia

4 Em 1654, Antoine de Gamband (1610-1685), mais conhecido por Cavaleiro De Méré,
jogador conceituado da corte de Luís XIV, colocou diversas questões relacionadas com o jogo ao seu amigo Pascal. A partir daqui, Blaise Pascal ( ) e Pierre Fermat ( ) realizaram uma série de reflexões, através de cartas, iniciando deste modo, a moderna teoria das probabilidades. Fermat Pascal

5 No século XVIII, o Cálculo de Probabilidades tornou-se um tema que despertou grande
interesse em muitos matemáticos. Jacob Bernoulli ( ), escreveu Ars conjectandi – A Arte de Conjecturar. Na segunda metade do século XVIII, o notável matemático francês, Pierre Laplace ( ), publicou um significativo número de trabalhos na área das probabilidades.

6 No século XIX, destacam-se os trabalhos do alemão Gauss (1777-1855).
E também, o francês Denis Poisson ( ).

7 O fundamento lógico e teórico da teoria das probabilidades como instrumento exacto
e fiável do conhecimento surgiu com a célebre escola de Sampetersburgo durante o século XIX e princípios do século XX. Destacam-se: Tchébychev ( ) Markov ( ) Lyapunov ( ) Markov Por fim, foi a escola soviética que permitiu a axiomatizou da teoria das probabilidades. Destacam-se: Kolmogorov ( ) Romanovski ( ) Smirnov ( ) Kolmogorov

8 Noções básicas da Teoria das Probabilidades
Definida uma experiência aleatória, o Conjunto de Resultados ou Espaço de Resultados ou Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados dessa experiência. Representa-se por: S, U, Ω ou E. Exemplo 1: Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista-se o número da face voltada para cima. Assim: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Lançam-se dois dados equilibrados, um com as faces numeradas de 1 a 6, e outro com as faces numerados de 1 a 4. Registam-se os números das faces voltadas para cima. Assim: E = {(1, 1), (1, 2), …., (6, 4)} Exemplo 3: Lança-se uma moeda, com as faces FN e FE, três vezes, e regista-se o tipo de face, que fica voltada para cima. Assim: E = {(FN, FN, FN), (FN, FN, FE), … , (FE, FE, FE)}

9 Um Acontecimento é cada um dos subconjuntos do espaço de resultados.
Relativamente à primeira experiência, o lançamento de um dado, podemos definir os seguintes acontecimentos: A: «sair um número inferior a 2» = {1} B: «sair um número primo» = {2, 3, 5} C: «sair um número inferior 7» = {1,2, 3, 4, 5, 6} = E D: «sair um número negativo» = { } Classificação de acontecimentos Acontecimento elementar – A Acontecimento composto – B Acontecimento certo – C Acontecimento impossível - D

10 Operações com acontecimentos
União ou Reunião () de dois acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza quando se realiza A ou B ou ambos. O acontecimento A  B é constituído pelos resultados que pertencem a, pelo menos, um dos acontecimentos. Intersecção () de dois acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizam simultaneamente. O acontecimento A  B é constituído pelos resultados comuns a A e B.

11 O acontecimento complementar ou contrário de A é o acontecimento constituído por todos os resultados do espaço E que não pertencem a A. O acontecimento diferença entre A e B (A-B ou A\B) é o acontecimento que se realiza sempre que se realiza A, sem que B se realize. O acontecimento A-B é constituído pelos resultados que pertencem a A e que não pertencem a B.

12 Exercício: Relativamente à experiência, lançamento de um dado com as faces
numeradas de 1 a 6, considera os seguintes acontecimentos: A: «sair número par» B: «sair número ímpar» C: «sair número par, maior do que 2» Determina:

13 Acontecimentos Incompatíveis
X e Y dizem-se incompatíveis ou disjuntos ou mutuamente exclusivos se e só se : X  Y =  Acontecimentos Contrários X e Y dizem-se contrários se e só se: X  Y =  X  Y = E

14 Propriedades das operações com acontecimentos

15 Exercícios Manual, Volume 1: Página 11: 1 Página 12: 2, 3 Página 13: 4 Página 16: 6, 7 Página 18: 8 Página 20: 9, 10

16 Aproximações conceptuais para Probabilidade
Definição clássica de Probabilidade (Lei de Laplace) Dado um espaço de resultados E, finito e tal que todos os resultados elementares são equiprováveis (igualmente prováveis), define-se probabilidade de um acontecimento A como o quociente entre o número de casos favoráveis a A e o número total de casos possíveis. Definição frequencista de Probabilidade (Lei dos Grandes Números) A probabilidade de um acontecimento A associado a uma experiência aleatória é o valor para que tende a frequência relativa da realização de A quando o número de provas tende para infinito. Nota 1: Esta lei aplica-se a acontecimentos equiprováveis e não equiprováveis. Nota 2: Esta lei pode ser útil para averiguar se uma moeda, ou um dado estão ou não viciados.

17 Exercícios: Manual, volume 1 Página 21: 11, 12 Página 23: 13 Página 26: 14, 15, 16 Página 27: 17, 18, 19 Página 28: 20, 21, 22 Página 29: 23 Página 32: 24, 25 Página 33: 26, 27 Página 34: 28 Ficha de trabalho n.º 1

18 Definição axiomática de probabilidade (caso finito)
A cada acontecimento A do universo E, faz-se corresponder um número real que se chama probabilidade de A (P(A)), o qual cumpre os seguintes axiomas:

19 Teoremas elementares das probabilidades

20 Exercícios Manual, volume 1: Página 36:29, 30, 31 Página: 37, 32, 33, 34, 35 Página 38: todos Ficha de Trabalho n.º 2