ax2 + bx + c = 0, a  0 a, b e c são números reais

Apresentação em tema: "ax2 + bx + c = 0, a  0 a, b e c são números reais"— Transcrição da apresentação:

1 ax2 + bx + c = 0, a  0 a, b e c são números reais
O que é uma equação do 2º grau? Chama-se equação do 2º grau em x a toda a equação redutível à forma EQUAÇÕES DO 2º GRAU ax2 + bx + c = 0, a  0 Forma canónica a, b e c são números reais Carlos Ferreira

2 a = 0 bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, a  0 Não te esqueças que
EQUAÇÕES DO 2º GRAU ax2 + bx + c = 0, a  0 Não te esqueças que para ser uma equação do 2º grau A equação é do 1º grau Se a for 0 Carlos Ferreira

3 (p-1)x2 - 5x + 7 = 0 Qual é o valor de p de modo que a equação
EQUAÇÕES DO 2º GRAU seja do 2º grau? Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero Carlos Ferreira

4 logo p – 1  0  p  1 (p-1)x2 - 5x + 7 = 0 portanto para p  1 a equação é do 2º grau EQUAÇÕES DO 2º GRAU Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero Carlos Ferreira

5 ax2 + bx + c = 0, a  0 ax2 bx c a b EQUAÇÕES DO 2º GRAU Termo em x2
Coeficiente de x2 EQUAÇÕES DO 2º GRAU Termo em x b Coeficiente de x Termo independente Carlos Ferreira

6 Coeficiente do termo em x2 Coeficiente do termo em x
Vamos ver os coeficientes dos termos de algumas equações do 2º grau Equação Coeficiente do termo em x2 Coeficiente do termo em x Termo independente Completa/ Incompleta EQUAÇÕES DO 2º GRAU 2 – 1 3 2x2 – x + 3 = 0 Completa 5 7 5x2 + 7x = 0 Incompleta – 3 – 2 – 3x2 – 2 = 0 Incompleta – 8 – 8x2 = 0 Incompleta 1 1 13 x2 + x + 13 = 0 Completa Carlos Ferreira

7 ax2 + bx + c = 0 com a  0 , b  0 , c  0 Resumindo:
As equações do 2º grau podem ser:  Completas EQUAÇÕES DO 2º GRAU ax2 + bx + c = 0 com a  0 , b  0 , c  0 Carlos Ferreira

8 ax2 = 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 com a  0 com a  0 , b  0
ou ax2 = 0 com a  0  Incompletas ax2 + bx = 0 com a  0 , b  0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ax2 + c = 0 com a  0 , c  0 Carlos Ferreira

9 Como resolver equações do 2º grau?
Equações incompletas EQUAÇÕES DO 2º GRAU PowerPoint (plataforma moodle) ficha síntese Carlos Ferreira

10 Vamos aprender a resolver equações
completas do 2º grau Por exemplo: EQUAÇÕES DO 2º GRAU (x – 3)2 = 16  x – 3 =  16 pela noção de raiz quadrada  x – 3 =  4 Atenção Carlos Ferreira

11 S = { -1, 7 }  x – 3 = 4  x – 3 = - 4  x = 4 + 3  x = - 4 + 3 
Obtemos a disjunção de duas condições  x – 3 = 4  x – 3 = - 4 EQUAÇÕES DO 2º GRAU resolvendo as duas equações obtidas  x = 4 + 3  x =  x – 3 =  4  x = 7  x = - 1 Carlos Ferreira

12 (x – 3)2 = 16   x2 – 6x + 9 = 16  x2 – 6x – 7 = 0 ax2 + bx + c = 0
Vamos resolver a mesma equação usando outro método (x – 3)2 = 16  aplico o caso notável  x2 – 6x + 9 = 16 EQUAÇÕES DO 2º GRAU  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 x2 – 6x – 7 = 0 igualamos a zero a equação encontra-se na forma canónica ax2 + bx + c = 0 Carlos Ferreira

13 ax2 + bx + c = 0 x2 – 6x – 7 = 0 Fórmula resolvente
Quando a equação se apresenta na forma ax2 + bx + c = 0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU aplicamos a Fórmula resolvente x2 – 6x – 7 = 0 Carlos Ferreira

14 ax2 + bx + c = 0 1 x2 – 6x – 7 = 0 Primeiro identificamos o valor dos
parâmetros a, b e c ax2 + bx + c = 0 ATENÇÃO AOS SINAIS EQUAÇÕES DO 2º GRAU 1 x2 – 6x – 7 = 0 a = 1 b = -6 c = -7 Carlos Ferreira

15 Agora basta substituí-los na fórmula
resolvente a = 1 1 1 b = - 6 - 6 - 6 c = -7 -7 EQUAÇÕES DO 2º GRAU - ( )   ( )2 – 4  ( )  ( ) x = 2  ( ) Os parênteses no 1 não eram necessários mas é para se lembrarem quando os parâmetros forem negativos Carlos Ferreira

16 - (- 6 )   (- 6 )2 – 4  1  (-7 ) x = 2  1 6   64 6  8  x = 
Efectuando os cálculos - (- 6 )   (- 6 )2 – 4  1  (-7 ) x = 2  1 EQUAÇÕES DO 2º GRAU 6   64 6  8  x =  x = 2 2 6 + 8 6 - 8  x =  x = 2 2 Carlos Ferreira

17 S = { -1, 7 } 6 + 8 6 - 8  x =  x = 2 2  x = 7  - 1 x =
EQUAÇÕES DO 2º GRAU Como é óbvio a solução é a mesma Cuidado com a identificação dos parâmetros e seus sinais e com a substituição na fórmula, o resto são cálculos Carlos Ferreira

18 Método mais indicado para resolver equações do 2º grau
Equações incompletas EQUAÇÕES DO 2º GRAU ax2 = 0 Usamos a noção de raiz quadrada Tem uma solução única nula Carlos Ferreira

19 Usamos a noção de raiz quadrada
ax2 + c = 0 Usamos a noção de raiz quadrada Tem soluções simétricas se a e c têm sinais diferentes EQUAÇÕES DO 2º GRAU É impossível se a e c têm o mesmo sinal Carlos Ferreira

20 Factorizamos os termos comuns e
ax2 + bx = 0 Factorizamos os termos comuns e aplicamos a lei do anulamento do produto EQUAÇÕES DO 2º GRAU Tem duas soluções uma nula e outra positiva se a e b têm sinais diferentes ou outra negativa se a e b têm o mesmo sinal Carlos Ferreira

21 Aplicamos a fórmula resolvente
ax2 + bx + c = 0 Aplicamos a fórmula resolvente O número de soluções depende do valor do binómio discriminante EQUAÇÕES DO 2º GRAU  = b2 – 4ac Carlos Ferreira

22  Se  = b2 – 4ac > 0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
a raiz quadrada de um número positivo existe, e é diferente de zero, pelo que a equação tem duas raízes reais distintas EQUAÇÕES DO 2º GRAU  Carlos Ferreira

23 Se  = b2 – 4ac = 0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
a raiz quadrada de zero é zero, pelo que a equação tem um único número real como raiz (tem uma raiz dupla) EQUAÇÕES DO 2º GRAU Carlos Ferreira

24 Se  = b2 – 4ac < 0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
não há raízes quadradas reais de números negativos, logo a equação não tem raízes reais a equação é impossível EQUAÇÕES DO 2º GRAU Carlos Ferreira

25 Vamos ver se há alguma relação entre as soluções (raízes) das equações e os coeficientes a, b e c na forma canónica Recorda que a equação EQUAÇÕES DO 2º GRAU x2 – 6x – 7 = 0 tinha como solução os valores 7 e -1 Consegues ver alguma relação? Carlos Ferreira

26 x2 – 5x +6 = 0 Se resolveres a equação EQUAÇÕES DO 2º GRAU
as soluções são 2 e 3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU Consegues, agora, ver alguma relação? Não? Qual é o produto e a soma das raízes nas duas equações? Carlos Ferreira

27 x2 – 5x +6 = 0 x2 – 6x – 7 = 0 Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7
P = 2  3 = 6 P = -1  7 = -7 EQUAÇÕES DO 2º GRAU S = = 5 S = = 6 Agora já consegues ver a relação? Pois é Carlos Ferreira

28 x2 – x + = 0 5 6 x2 – x = 0 6 – 7 Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7
P = 2  3 = 6 P = -1  7 = - 7 EQUAÇÕES DO 2º GRAU S = = 5 S = = 6 Repara onde aparece o produto das raízes E as somas Carlos Ferreira

29 x2 – Sx + P = 0 Portanto podemos concluir que quando a
equação está na forma x2 – Sx + P = 0 EQUAÇÕES DO 2º GRAU O S representa a soma das raízes e o P representa o produto das raízes Carlos Ferreira

30 ax2 +bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 __ __ a a
E se a equação estiver na forma canónica? ax2 +bx + c = 0 Como a  0 podemos dividir ambos os membros da equação por a EQUAÇÕES DO 2º GRAU obtendo x2 + bx + c = 0 __ __ a a Carlos Ferreira

31 x2 – Sx + P = 0 x2 + bx + c = 0 __ __ a a S = - b/a P = c/a
Relacionando as duas expressões anteriores x2 – Sx + P = 0 x2 + bx + c = 0 __ __ a a EQUAÇÕES DO 2º GRAU obtemos S = - b/a P = c/a Carlos Ferreira

32 FIM Espero ter contribuído para uma melhor
compreensão sobre o conteúdo apresentado EQUAÇÕES DO 2º GRAU FIM Carlos Ferreira