Média e valor médio No estudo da estatística descritiva, para além das tabelas de frequências e gráficos, estudam-se outros métodos para resumir a informação.

Apresentação em tema: "Média e valor médio No estudo da estatística descritiva, para além das tabelas de frequências e gráficos, estudam-se outros métodos para resumir a informação."— Transcrição da apresentação:

1 Média e valor médio No estudo da estatística descritiva, para além das tabelas de frequências e gráficos, estudam-se outros métodos para resumir a informação obtida a partir da amostra. Entre esses métodos destacam-se as medidas de localização (média, mediana, moda e quartis) e as medidas de dispersão (desvio médio, variância e desvio padrão). Nas probabilidades tem particular interesse o estudo da média (valor médio) e do desvio padrão.

2 Média versus valor médio *
A média é uma característica da amostra e portanto o seu valor varia de amostra para amostra, sendo calculado para cada uma delas. O valor médio () é uma característica da população em estudo, e, embora na maior parte das vezes seja desconhecido, tem um valor fixo. (*) também se chama esperança matemática ou valor esperado.

3 Desvio padrão amostral / Desvio padrão populacional
O desvio padrão diz-nos se os dados (se a população) estão muito ou pouco concentrados em torno da média (do valor médio). Portanto, quanto maior for o desvio padrão mais dispersos são os dados. Nota: As fórmulas do valor médio e do desvio padrão populacional resultam de substituirmos, nas fórmulas da amostra, as frequências relativas pela probabilidade. Assim, obtemos as correspondentes medidas para a população.

4 Problema 1 Uma questão de escolha múltipla tem 4 hipóteses de resposta, das quais apenas uma está correta. Se o aluno responder corretamente ganha 9 pontos e se responder erradamente perde 3 pontos (isto é, são-lhe retirados 3 pontos). Se o aluno responder ao acaso, quantos pontos deve, em média, obter? Resolução Temos de calcular o valor médio da variável aleatória X (pois estamos a supor que o aluno responde ao acaso) X:= pontuação obtida na questão

5 A variável X toma os valores -3 e 9, isto é, X{-3, 9}
A distribuição de probabilidades desta variável é X = xi -3 9 P(X=xi) 3/4 1/4 Assim, o valor médio é Portanto, se o aluno responder ao acaso, a pontuação média ou valor esperado é zero. Nota: Até 2005?, a classificação das questões de escolha múltipla nos exames do 12º ano de Matemática seguia este critério. Qual era o objetivo? Pretendia-se que o aluno não respondesse ao acaso, pois caso o fizesse, obtinha, em média, zero pontos.

6 Problema 2 Uma questão de escolha múltipla tem 5 hipóteses de resposta, das quais apenas uma está correta. Se cada resposta certa valer 12 pontos, quanto deve ser descontado por cada resposta errada para que a pontuação esperada por um aluno que responda ao acaso seja zero pontos? Resolução Pretende-se que o valor médio da variável X seja zero, isto é, de onde resulta Assim, cada questão errada deverá ter um desconto de 3 pontos.

7 Problema 3 (Teste Intermédio de dezembro de 2005)
O João vai lançar 6 mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e adicionar os números obtidos. De qual dos seguintes valores se espera que a soma obtida pelo João esteja mais próxima? (A) (B) (C) (D) Resolução Sendo X a variável aleatória: número obtído no lançamento do dado, temos a seguinte distribuição de probabilidades: X=xi 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 1/6 O valor médio esperado para a variável X (por cada lançamento) é Assim, em 6 mil lançamentos a soma esperada é 60003,5 =

8 Exercício 5 (Exame 2006 – 2ª fase)
A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é X = xi 1 2 P(X=xi) a 0,4 Qual é o valor médio desta variável aleatória ? (A) 1,1 (B) 1,2 (C) 1,3 (D) 1,4