Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos

Apresentação em tema: "Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos"— Transcrição da apresentação:

1 Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos
ANÁLISE Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos Prof. Mário Alves

2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Propriedade de Completeza; Supremo e Ínfimo; Máximo e Mínimo de um conjunto; e Propriedade Arquimediana

3 COTAS SUPERIORES E INFERIORES
. COTAS SUPERIORES E INFERIORES Dado um subconjunto S de R. Um elemento u de R é dito cota superior de S se , , isto é, se este elemento u de R for maior ou igual a qualquer elemento de S. Se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma infinidade de cotas superiores. Considere o conjunto : O elemento 4 é cota superior deste conjunto; O elemento 3 também é cota superior deste conjunto; Ainda, note que qualquer elemento maior que 3 também será cota superior deste conjunto.

4 COTAS SUPERIORES E INFERIORES
. COTAS SUPERIORES E INFERIORES Dado um subconjunto S de R. Um elemento é dito uma cota inferior de S se , , isto é, se este elemento w, de R, for menor ou igual a qualquer elemento do subconjunto S. Obs.: Nem sempre um subconjunto S de R possui cota superior. Ex.:

5 COTAS SUPERIORES E INFERIORES
. COTAS SUPERIORES E INFERIORES Quando um conjunto possui cota inferior, dizemos que este conjunto é cotado inferiormente; Quando um conjunto possui cota superior, dizemos que este conjunto é cotado superiormente; e Quando um conjunto possui cota superior e inferior, dizemos que ele é cotado.

6 . SUPREMOS E ÍNFIMOS Se S for cotado superiormente, dizemos que uma cota superior de S é o supremo de S se ela é menor do que qualquer outra cota superior de S. Ou ainda: Um número é dito supremo de S se: 1) , , ou seja u é uma cota superior; e 2) Se , , então , ou seja, u é a menor das cotas superiores Notação: sup S

7 . SUPREMOS E ÍNFIMOS Agora, considere o subconjunto S de R. Se S for cotado inferiormente, dizemos que uma cota inferior de S é o ínfimo de S se ela é a maior do que qualquer outra cota inferior de S. Notação: inf S Exemplos: Observe os conjuntos: Tanto no conjunto M, como no T, podemos perceber que o ínfimo é 0 e o supremo é 3. Quando se diz que um conjunto tem supremo, nada se pode afirmar sobre o supremo pertencer ou não ao conjunto.

8 SUPREMOS E ÍNFIMOS Unicidade do Supremo:
. SUPREMOS E ÍNFIMOS Unicidade do Supremo: Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único supremo para S. Prova: Propondo u e v supremos de s. Logo, ambos são cotas superiores de S. Como u é supremo e v é cota superior de S, temos u v; Como v é supremo e u é cota superior de S, temos v u; Portanto u = v.

9 SUPREMOS E ÍNFIMOS Unicidade do Ínfimo:
. SUPREMOS E ÍNFIMOS Unicidade do Ínfimo: Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único ínfimo para S. Prova: Análoga. Deixamos como um exercício.

10 . SUPREMOS E ÍNFIMOS Exercício: Determine o ínfimo e o supremo do conjunto , sendo Y o conjunto das frações do tipo , Vamos ver quem são os elementos deste conjunto: Reparamos que o conjunto é decrescente, pois aumentamos o denominador. Logo, ½ é o supremo. Para o ínfimo, devemos utilizar a noção de limites:

11 PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA
. PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA Dado um número real x, existe um número natural n que é maior que x. Prova: Suponha ; Suponha, por absurdo, que não existe um natural maior que x. Assim, x é cota superior de N. Pela propriedade do supremo, N tem um supremo u. Como x é cota superior de N, então

12 PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA
. PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA Como u-1 < u, temos que existe , tal que Assim, mas, como , temos que o que contradiz a hipótese de que u é cota superior de N, já que descobrimos alguém ( ) maior que u e que pertence a N. Com isso, podemos afirmar que a Propriedade Arquimediana nos diz que o conjunto dos Naturais não é cotado superiormente nos Reais.

13 . EXISTÊNCIA DE RAIZ DE 2 Teorema: Existe um número positivo x pertencente a R tal que Prova: O conjunto é cotado superiormente por 2. Caso contrário, tal que , ou ainda, , isto é, Como , pela definição de S, e Absurdo! Logo, há esse número positivo!