Lógica de Predicados Tableaux semânticos.

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1 Lógica de Predicados Tableaux semânticos

2 Sistema de Tableaux Semânticos
Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

3 R1=H^G R2=HvG R3=HG H G H G H G R4=HG R5=H R6=(H^G) H^G H^G H G R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG) H H G G H^G H^G

4 Regras para quantificadores
R10=(x)H R11= (x)H (x)H (x)H R12=(x)H R13= (x)H H(t) H(t) onde t é novo, onde t é qualquer que não apareceu na prova ainda R10 e 12 devem ter preferência! Por quê???

5 Características do Método de Tableau Semântico
Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

6 Idéia Básica de Tableaux Semânticos
Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

7 Características do Método de Tableau Semântico (cont.)
Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

8 Construção de um Tableau
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.

9 Construção do mesmo Tableau mais curto
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2. 5. A B R2, 1.

10 Heurística para aplicação de regras para tableau
Advindas do sistema de tableau analítico “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

11 Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

12 Prova e Teorema em Tableaux Semânticos
Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

13 Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H=((PQ)^(PQ)^(P))?? Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^(PQ)^(P)))

14 1. (((PQ)^(PQ)^(P)))
2. (PQ)^(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. PQ R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5. 7. P Q R3, 3. fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. P P R1, 8. Q Q R1, 8. fechado fechado

15 1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P 4. P 5. P^Q P^Q 6. P P 7. Q Q aberto fechado

16 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

17 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

18 Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

19 Solução Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1
Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1) gera um tableau fechado?

20 Exercícios de Formalização
A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

21 Solução A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, SA, CS} |-- A

22 Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

23 Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

24 Exemplo 1: Construção de um Tableau
H=(x)(y)p(x,y)  p(a,a) é tautologia? Tableau sobre H: 0. ((x)(y)p(x,y)  p(a,a)) 1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a) R8,0 3. (y)p(a,y) R13,1 com t=a 4. p(a,a) R13,3 com t=a fechado

25 Exemplo 2: Construção de um Tableau
H=(x)p(x)  (y)p(y) é tautologia? Tableau sobre H: 0. ((x)p(x)  (y)p(y)) 1. (x)p(x) R8,0 2. (y)p(y) R8,0 3. (y)p(y) R11,2 4. p(a) R13,3 com t=a 4. p(a) R13,1 com t=a fechado

26 Exemplo 3: Construção de um Tableau
W= (x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria) Tableau sobre W???

27 0. ((x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria))
1. (x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a 8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a) fechado R13,8, t=a fechado

28 Exercícios J=((x)p(x)^(x)q(x))  (x)(p(x)^q(x))
P=(x)(p(x)^q(x))   (x)p(x)^ (x)q(x)) Q=(x)(p(x)  (y)(p(y))

29 Exemplo de prova M=(x)(y)p(x,y)  p(a,a)
1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a)) R8,0 3. (y)p(t1,y) R12,1, t1 novo, t1=a 4. p(t1,t2) R12,1, t2 novo, t2=a e t1 Fechado??? Se R12 fosse usada com t1 e t2=a (errado!), o tableau seria fechado

30 Exemplo 2 de prova H=(x)p(x)^q(x)  (x)p(x) é tautologia?
Fazer o Tableau sobre H

31 Exemplo 2 de prova (cont.)
H=(x)p(x)^q(x)  (x)p(x) 0. ((x)p(x)^q(x)  (x)p(x)) 1. (x)p(x)^q(x) R8,0 2. (y)p(x) R8,0 3. p(t) R12,2, t novo 4. p(t)^q(t) R13,1, t qualquer 4. p(t) R1,4 5. q(t) R1,4 6. Fechado - Que alegria 

32 Mais exercícios... Fumo!! E1=(x)(p(x)  q(x))
E2=(x)p((x)  (x)q(x)) E1  E2?? G1=(x)(p(x)  q(x)) G2=(x)p((x)  (x)q(x)) G1  G2?? G2  G1??

33 Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é raro...

34 Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H ├{H1,H2,...Hn,H} Queremos provar, por negação ao absurdo, que b U H é insatisfatível b U H├ Falso

35 Exercício de Cons. Lógica
{(x)(Homem(x)  Mortal(x)), Homem(Sócrates)} ├ Mortal(Sócrates)? Prova por tableaux de H =(x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates) H= ((x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates))

36 Exercício de Cons. Lógica (cont.)
H= ((x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates)) Por R8, queremos um tableau fechado que começa SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente 1. (x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) R3,0 2. (x)(Homem(x)  Mortal(x)) R1,1 3. Homem(Sócrates) R1,1 4. Mortal(Sócrates) R3,0 Portanto se eu gerar o conseqüente (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma contradição! Podem (e devem) usadas outras contradições

37 Exercício de Cons. Lógica (cont.)
1. (x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) 2. (x)(Homem(x)  Mortal(x)) 3. Homem(Sócrates) 4. Mortal(Sócrates) 5. Homem(Sócrates)  Mortal(Sócrates) 6. Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates) Fechado Fechado

38 E para a implementação??

39 Tem um probleminha... 0. ((x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria)) 1. (x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a 8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a1) fechado R13,8, t=a 10. Bom(a2) E nunca fazer x=a

40 Solução Tableaux semânticos podem ser usados, mas
Podem não ser decidíveis (por quê?) ocupam muita memória, para gerar as instanciações possíveis Aguardem os próximos capítulos... Unificação!!