EE-240/2009 Proportional Hazards Model.

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1 EE-240/2009 Proportional Hazards Model

2 Proportional Hazards Model

3 Informações da População
p (t) p (t) t t T t t =1 =1 =2 =2 =n-1 =n-1 =n =n

4 Informações da População
x2 = fON-OFF t x1 = T t =1 =1 =2 =2 =n-1 =n-1 =n =n

5 Hazard em Proporção Constante para Qualquer t

6 Risk Set: R1 = {1,2,3,4,5,6} R2 = {2,3,4} R3 = {3,4} R4 = {4}
Seja t1 < t2 < ... < tk Ri = conjunto de componentes sobreviventes até ti- Exemplo: Comp tfalha [dias] Temp [o] 1 830 50 2 560 75 3 580 90 4 >360 100 5 >410 105 6 290 140 Comp tfalha [dias] ti xi Ri 6 290 t1 140 {1,2,3,4,5,6} 4 >360 100 5 >410 105 2 560 t2 75 {2,3,1} 3 580 t3 90 {3,1} 1 830 t4 50 {1}

7 P(componente j falhar em tj | algum componente de Rj falhar em tj) = ?
j havia sobrevivido até t P(componente x = xj falhar em tj | algum componente de Rj falhar em tj) = P(componente x = xj falhar em tj ) P(algum componente de Rj falhar em tj) =

8 Comp tfalha [dias] ti xi Ri 6 290 t1 140 {1,2,3,4,5,6} 4 >360 100 5 >410 105 2 560 t2 75 {2,3,1} 3 580 t3 90 {3,1} 1 830 t4 50 {1}

9  = 0.068

10 Relação com Tempo de Falha Acelerada

11 ( ) Em modelos com tempo de falha acelerada os covariates x atuam
diretamente sobre a escala de tempo: Tempo de falha ti associado com xi ( ) x a t dt dR l = -

12 Modelo de Riscos Proporcionais
Exemplo de Aplicação Modelo de Riscos Proporcionais

13 Exemplo t =1 =2 =n-1 =n t =1 =2 =n-1 =n x1 = T 290 830 580 560

14 Exemplo Ordenado t x1 = T 290 830 580 560 ti tfalha [dias] xi=T t1 290
t =1 =2 =n-1 =n x1 = T 290 830 580 560 ti tfalha [dias] xi=T t1 290 140 - >360 100 >410 105 t2 560 75 t3 580 90 t4 830 50

15 Dados Censurados Conjunto sob Risco ti tfalha [dias] xi Ri t1 290 140
{1,2,3,4,5,6} - >360 100 >410 105 t2 560 75 {2,3,1} t3 580 90 {3,1} t4 830 50 {1} Dados Censurados Conjunto sob Risco

16 Maximização de L(): Método Gráfico
 = 0.068

17 Exemplo: Componentes sujeitos a Ciclos de Temperatura

18 Como contar ciclos? Temp t

19 Rainflow Counting y t

20 Rainflow Counting t y

21 Rainflow Counting 10 

22 Rainflow Counting 10  5 

23 Rainflow Counting 10  5  5 

24 Rainflow Counting 10  5  5  10 

25 Rainflow Counting 10  5  5  10  7 

26 Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6 

27 Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6  9 

28 Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6  9  9 

29 Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6  5 9 10 9  9 
Num ciclos 10  5  5  10  Amplitude dos Ciclos 7  6  5 9 10 9  9  ni ciclos de amplitude i observados Ni ciclos de amplitude i até falha Miner's Rule Falha esperada se degradação = 1

30 Exemplo: Transistor sujeito a Ciclos de Temperatura
t =1 =2 =n-1 =n x2 = T x1 = fciclos 1 = 0.080 2 = 0.002 0(t) = 1.000

31 x x tf

32 Método da Maximização da Verossimilhança (log)
>> ; 0.002]) x = 0.0892 0.0033

33 function [L]=neglogpartlikelihood(beta)
% Número de componentes N = 30; table = [ ... ]; % Ordenar por instantes de falha tables=sortrows(table,3); % Calcula Somatoria de beta’*x bex=0; for kk=1:N bex=bex + beta(1)*tables(kk,1)+beta(2)*tables(kk,2); end % Calcular Somatoria de beta’*x para R(kk) somat(N+1)=0.; for kk=N:-1:1 somat(kk)=somat(kk+1)+ exp(beta(1)*tables(kk,1)+beta(2)*tables(kk,2)); L = -bex + sum(log(somat(1:N)));

34 Método Gráfico [ x10-2 ] 9.4 2.9 2.0 8.0 log L() beta1
beta2 [ x 10-3 ] [ x10-2 ]

35 Exemplo: Rolamento 20 rolamentos em ambiente limpo  x = 0:
tf = { } 20 rolamentos em ambiente com partículas abrasivas  x = 1: tf = { }

36 x = 0: tf = { } x = 1: tf = { } tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

37 x = 0: tf = { } x = 1: tf = { } tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

38 x = 0: tf = { } x = 1: tf = { } tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

39 x = 0: tf = { } x = 1: tf = { } tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

40 x = 0: tf = { } x = 1: tf = { } tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

41 tf x ti di 1 011 t1 3 e2/(20+20e)3 2 11 t2 e2/(19+18e)2 001 t3 e/(19+16e)3 4 t4 e/(17+15e) 5 t5 e/(17+14e) 6 t6 1/(17+13e) 7 00 t7 1/(16+13e)2 8 t8 e2/(14+13e)2 9 t9 e/(14+11e) 10 t10 1/(14+10e) t11 e/(13+10e) 12 t12 e/(13+9e)2 tf x ti di 14 10 t13 2 e/(12+8e)2 15 t14 1 1/(11+7e) 16 t15 e/(10+7e) 18 t16 e/(10+6e)2 19 t17 1/(9+5e) 21 t18 e/(8+5e) 22 t19 1/(8+4e) 26 t20 1/(7+4e) 29 00+1+ t21 1/(5+3e) 31 t22 e/(4+3e) 34 01+ t23 1/(4+e) 40 t24 1/(3+e)

42 Visualização Gráfica

43 Muito Obrigado!